如图,抛物线 与 轴交于 、 两点, 点坐标为 .与 轴交于点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)点 在 轴下方的抛物线上,过点 的直线 与直线 交于点 ,与 轴交于点 ,求 的最大值;
(3)点 为抛物线对称轴上一点.
①当 是以 为直角边的直角三角形时,求点 的坐标;
②若 是锐角三角形,求点 的纵坐标的取值范围.
小贤与小杰在探究某类二次函数问题时,经历了如下过程:
求解体验:
(1)已知抛物线 经过点 ,则 ,顶点坐标为 ,该抛物线关于点 成中心对称的抛物线表达式是 .
抽象感悟:
我们定义:对于抛物线 ,以 轴上的点 为中心,作该抛物线关于点 中心对称的抛物线 ,则我们又称抛物线 为抛物线 的“衍生抛物线”,点 为“衍生中心”.
(2)已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ,若这两条抛物线有交点,求 的取值范围.
问题解决:
(3)已知抛物线
①若抛物线 的衍生抛物线为 ,两抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点,求 、 的值及衍生中心的坐标;
②若抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 ;关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 ; ;关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 为正整数).求 的长(用含 的式子表示).
如图,抛物线 与 轴交于 , 两点,与直线 交于 , 两点,直线 与抛物线的对称轴交于点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点 在直线 上方的抛物线上运动.
①点 在什么位置时, 的面积最大,求出此时点 的坐标;
②当点 与点 重合时,连接 ,将 补成矩形,使 上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,求出矩形未知顶点的坐标.
如图,抛物线 与 轴交于点 , ,与 轴交于点 .
(1)试求 , , 的坐标;
(2)将 绕 中点 旋转 ,得到 .
①求点 的坐标;
②判断四边形 的形状,并说明理由;
(3)在该抛物线对称轴上是否存在点 ,使 与 相似?若存在,请直接写出所有满足条件的 点的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知二次函数 的图象与 轴分别交于 , 两点,与 轴交于点
(1)求此二次函数解析式;
(2)点 为抛物线的顶点,试判断 的形状,并说明理由;
(3)将直线 向上平移 个单位,平移后的直线与抛物线交于 , 两点(点 在 轴的右侧),当 为直角三角形时,求 的值.
已知二次项系数等于1的一个二次函数,其图象与 轴交于两点 , ,且过 , 两点 , 是实数),若 ,则 的取值范围是
A. |
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B. |
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C. |
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D. |
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如图,已知抛物线 与 轴相交于 , 两点,与 轴相交于点 ,对称轴是直线 ,连接 .
(1)求该抛物线的表达式;
(2)若过点 的直线 与抛物线相交于另一点 ,当 时,求直线 的表达式;
(3)在(2)的条件下,当点 在 轴下方时,连接 ,此时在 轴左侧的抛物线上存在点 ,使 .请直接出所有符合条件的点 的坐标.
如图,抛物线 的顶点为 ,该抛物线与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 ,且 ,直线 与 轴交于点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)证明: ;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 ,使 是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的 点坐标,若不存在,请说明理由.
抛物线 经过点 ,顶点为 .
(1)求点 的坐标;
(2)设直线 与抛物线交于 、 两点(点 在点 的左侧).
①在抛物线的对称轴上是否存在点 .使 ?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由;
②点 在直线 上,点 在抛物线上,当以 , , , 为顶点的四边形是平行四边形时,求点 的坐标.
抛物线 与 轴相交于 , , , 两点,与 轴交于点 .
(1)设 , ,求该抛物线的解析式;
(2)在(1)中,若点 为直线 下方抛物线上一动点,当 的面积最大时,求点 的坐标;
(3)是否存在整数 , 使得 和 同时成立,请证明你的结论.
如图,已知抛物线 与 轴交于点 和点 ,交 轴于点 ,过点 作 轴,交抛物线于点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线 与线段 、 分别交于 、 两点,过 点作 轴于点 ,过点 作 轴于点 ,求矩形 的最大面积;
(3)若直线 将四边形 分成左、右两个部分,面积分别为 , ,且 ,求 的值.
已知:如图,抛物线 与坐标轴分别交于点 , , ,点 是线段 上方抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点 运动到什么位置时, 的面积有最大值?
(3)过点 作 轴的垂线,交线段 于点 ,再过点 做 轴交抛物线于点 ,连接 ,请问是否存在点 使 为等腰直角三角形?若存在,求出点 的坐标;若不存在,说明理由.
如图,在平面直角坐标系 中,已知 , 两点的坐标分别为 , , 是线段 上一点(与 , 点不重合),抛物线 经过点 , ,顶点为 ,抛物线 经过点 , ,顶点为 , , 的延长线相交于点 .
(1)若 , ,求抛物线 , 的解析式;
(2)若 , ,求 的值;
(3)是否存在这样的实数 ,无论 取何值,直线 与 都不可能互相垂直?若存在,请直接写出 的两个不同的值;若不存在,请说明理由.
如图,抛物线 与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 ,对称轴 与 轴交于点 ,直线 ,点 是直线 上方抛物线上一动点,过点 作 ,垂足为 ,交 于点 ,连接 、 、 、 .
(1)抛物线的解析式为 ;
(2)当四边形 面积最大时,求点 的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接 ,点 是 轴上一动点,在抛物线上是否存在点 ,使得以 、 、 、 为顶点,以 为一边的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点 的坐标;若不存在,说明理由.