初中数学二次函数的性质试题

如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点 $(2,1)$在二次函数的图象上，过点 $F(0,1)$作 $x$轴的平行线交二次函数的图象于 $M$、 $N$两点．

（1）求二次函数的表达式；

（2） $P$为平面内一点，当 $\mathit{\Delta PMN}$是等边三角形时，求点 $P$的坐标；

（3）在二次函数的图象上是否存在一点 $E$，使得以点 $E$为圆心的圆过点 $F$和点 $N$，且与直线 $y=-1$相切．若存在，求出点 $E$的坐标，并求 $\odot E$的半径；若不存在，说明理由．

如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．

已知， $m$， $n$是一元二次方程 $x^2+4x+3=0$的两个实数根，且 $\left|m\right|<\left|n\right|$，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(m,0)$， $B(0,n)$，如图所示．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与 $x$轴的另一个交点为 $C$，抛物线的顶点为 $D$，试求出点 $C$， $D$的坐标，并判断 $\mathit{\Delta BCD}$的形状；

（3）点 $P$是直线 $\mathit{BC}$上的一个动点（点 $P$不与点 $B$和点 $C$重合），过点 $P$作 $x$轴的垂线，交抛物线于点 $M$，点 $Q$在直线 $\mathit{BC}$上，距离点 $P$为 $\sqrt{2}$个单位长度，设点 $P$的横坐标为 $t$， $\mathit{\Delta PMQ}$的面积为 $S$，求出 $S$与 $t$之间的函数关系式．

如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为．

（1）求抛物线解析式及点坐标；

（2）若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积；

（3）如图2，若点是半径为2的上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

阅读下面的材料：

如果函数 $y=f\left(x\right)$满足：对于自变量 $x$取值范围内的任意 $x_1$， $x_2$，

（1）若 $x_1<x_2$，都有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$，则称 $f\left(x\right)$是增函数；

（2）若 $x_1<x_2$，都有 $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$，则称 $f\left(x\right)$是减函数．

例题：证明函数 $f\left(x\right)=x^2(x>0)$是增函数．

证明：任取 $x_1<x_2$，且 $x_1>0$， $x_2>0$．

则 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)$．

$\because x_1<x_2$且 $x_1>0$， $x_2>0$，

$\therefore x_1+x_2>0$， $x_1-x_2<0$．

$\therefore (x_1+x_2)(x_1-x_2)<0$，即 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0$， $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$．

$\therefore$函数 $f\left(x\right)=x^2(x>0)$是增函数．

根据以上材料解答下列问题：

（1）函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}(x>0)$， $f$（1） $=\frac{1}{1}=1$， $f$（2） $=\frac{1}{2}$， $f$（3） $=$　　， $f$（4） $=$　　；

（2）猜想 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}(x>0)$是 　　函数（填“增”或“减” $)$，并证明你的猜想．

如图1，抛物线经过点、两点，是其顶点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．

（1）求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；

（2）如图2，直线经过点，是抛物线上的一点，设点的横坐标为，连接并延长，交抛物线于点，交直线于点，若，求的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接、，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $B(-1,0)$， $D(-2,5)$两点，与 $x$轴另一交点为 $A$，点 $H$是线段 $\mathit{AB}$上一动点，过点 $H$的直线 $\mathit{PQ}\perp x$轴，分别交直线 $\mathit{AD}$、抛物线于点 $Q$， $P$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点 $P$，使 $\angle \mathit{APB}=90°$，若存在，求出点 $P$的横坐标，若不存在，说明理由；

（3）连接 $\mathit{BQ}$，一动点 $M$从点 $B$出发，沿线段 $\mathit{BQ}$以每秒1个单位的速度运动到 $Q$，再沿线段 $\mathit{QD}$以每秒 $\sqrt{2}$个单位的速度运动到 $D$后停止，当点 $Q$的坐标是多少时，点 $M$在整个运动过程中用时 $t$最少？

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $\mathit{AD}$ 下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$ ， $\mathit{PD}$ ，求 $\mathit{\Delta PAD}$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 沿射线 $\mathit{AD}$ 平移 $4\sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_1$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_1$ 的对称轴上任意一点，在 $y_1$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2x+1(a\ne 0)$ 的对称轴为直线 $x=1$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）若点 $M(x_1$ ， $y_1)$ ， $N(x_2$ ， $y_2)$ 都在此抛物线上，且 $-1<x_1<0$ ， $1<x_2<2$ ．比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小，并说明理由；

（3）设直线 $y=m(m>0)$ 与抛物线 $y=a{x}^2-2x+1$ 交于点 $A$ 、 $B$ ，与抛物线 $y=3{(x-1)}^2$ 交于点 $C$ ， $D$ ，求线段 $\mathit{AB}$ 与线段 $\mathit{CD}$ 的长度之比．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4(a\ne 0)$ 的图象经过点 $A(-4,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上一点，连接 $\mathit{BP}$ 、 $\mathit{AC}$ ，交于点 $Q$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$ ，当 $\angle \mathit{DPB}=2\angle \mathit{BCO}$ 时，求直线 $\mathit{BP}$ 的表达式；

（3）请判断： $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{QB}}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点 $P$ 的坐标，如没有请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 经过点 $(1,1)$ 和 $(4,1)$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的对称轴．

（2）当 $a=-1$ 时，将抛物线 $C$ 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 $C_1$ ．

①求抛物线 $C_1$ 的解析式．

②设抛物线 $C_1$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ．点 $D$ 为第一象限内抛物线 $C_1$ 上一动点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{OA}$ 于点 $E$ ．设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

已知：如图，一次函数 $y=\mathit{kx}-1$的图象经过点 $A(3\sqrt{5}$， $m\left)\right(m>0)$，与 $y$轴交于点 $B$．点 $C$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$，过点 $C$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$．若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $\mathit{CD}$为对称轴的抛物线经过点 $A$，它的顶点为 $P$，若过点 $P$且垂直于 $\mathit{AP}$的直线与 $x$轴的交点为 $Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5}$， $0)$，求这条抛物线的函数表达式．

如图1，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，已知点 $B$坐标为 $(3,0)$，点 $C$坐标为 $(0,3)$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一个动点，当 $\mathit{\Delta PBC}$的面积最大时，求点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $M$为该抛物线的顶点，直线 $\mathit{MD}\perp x$轴于点 $D$，在直线 $\mathit{MD}$上是否存在点 $N$，使点 $N$到直线 $\mathit{MC}$的距离等于点 $N$到点 $A$的距离？若存在，求出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，已知一次函数 $y=x+3$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$过 $A$、 $B$两点，且与 $x$轴交于另一点 $C$．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）如图1，点 $D$为 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$在线段 $\mathit{BD}$上，且 $\mathit{BE}=2\mathit{ED}$，连接 $\mathit{CE}$并延长交抛物线于点 $M$，求点 $M$的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $15°$后交 $y$轴于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$，如图2， $P$为 $\mathit{\Delta ACG}$内一点，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PC}$、 $\mathit{PG}$，分别以 $\mathit{AP}$、 $\mathit{AG}$为边，在他们的左侧作等边 $\mathit{\Delta APR}$，等边 $\mathit{\Delta AGQ}$，连接 $\mathit{QR}$

①求证： $\mathit{PG}=\mathit{RQ}$；

②求 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$的最小值，并求出当 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$取得最小值时点 $P$的坐标．