如图1，抛物线$C:y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过点$A(-4,0)$、$B(-1,3)$两点，$G$是其顶点，将抛物线$C$绕点$O$旋转$180°$，得到新的抛物线$C\text{'}$．

（1）求抛物线$C$的函数解析式及顶点$G$的坐标；

（2）如图2，直线$l:y=\mathit{kx}-\frac{12}{5}$经过点$A$，$D$是抛物线$C$上的一点，设$D$点的横坐标为$m(m<-2)$，连接$\mathit{DO}$并延长，交抛物线$C\text{'}$于点$E$，交直线$l$于点$M$，若$\mathit{DE}=2\mathit{EM}$，求$m$的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接$\mathit{AG}$、$\mathit{AB}$，在直线$\mathit{DE}$下方的抛物线$C$上是否存在点$P$，使得$\angle \mathit{DEP}=\angle \mathit{GAB}$？若存在，求出点$P$的横坐标；若不存在，请说明理由．