如图1，在平面直角坐标系中，直线$y=-5x+5$与$x$轴，$y$轴分别交于$A$，$C$两点，抛物线$y=x^2+\mathit{bx}+c$经过$A$，$C$两点，与$x$轴的另一交点为$B$．

（1）求抛物线解析式及$B$点坐标；

（2）若点$M$为$x$轴下方抛物线上一动点，连接$\mathit{MA}$、$\mathit{MB}$、$\mathit{BC}$，当点$M$运动到某一位置时，四边形$\mathit{AMBC}$面积最大，求此时点$M$的坐标及四边形$\mathit{AMBC}$的面积；

（3）如图2，若$P$点是半径为2的$\odot B$上一动点，连接$\mathit{PC}$、$\mathit{PA}$，当点$P$运动到某一位置时，$\mathit{PC}+\frac{1}{2}\mathit{PA}$的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．