如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱 $\mathit{AC}$的高为11米，灯杆 $\mathit{AB}$与灯柱 $\mathit{AC}$的夹角 $\angle A=120°$，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 $\mathit{DE}$长为18米，从 $D$， $E$两处测得路灯 $B$的仰角分别为 $\alpha$和 $\beta$，且 $\tan \alpha =6$， $\tan \beta =\frac{3}{4}$，求灯杆 $\mathit{AB}$的长度．