初中数学二次函数的性质试题

已知抛物线，为常数，经过点，点是轴正半轴上的动点．

（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；

（Ⅲ）点，在抛物线上，当的最小值为时，求的值．

在平面直角坐标系中，点，点．已知抛物线是常数），顶点为．

（Ⅰ）当抛物线经过点时，求顶点的坐标；

（Ⅱ）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；

（Ⅲ）无论取何值，该抛物线都经过定点．当时，求抛物线的解析式．

已知抛物线是常数）经过点．

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）为抛物线上的一个动点，关于原点的对称点为．

①当点落在该抛物线上时，求的值；

②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值．

综合与探究

如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．点是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作交轴于点，交于点．

（1）求，，三点的坐标；

（2）试探究在点运动的过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值．

如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、．点沿以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，同时，点沿以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接．过点作轴，与抛物线交于点，与交于点，连接，与交于点．设点的运动时间为秒．

（1）求直线的函数表达式；

（2）①直接写出，两点的坐标（用含的代数式表示，结果需化简）

②在点、运动的过程中，当时，求的值；

（3）试探究在点，运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点为的中点？若存在，请直接写出此时的值与点的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-8$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $l$ 经过坐标原点 $O$ ，与抛物线的一个交点为 $D$ ，与抛物线的对称轴交于点 $E$ ，连接 $\mathit{CE}$ ，已知点 $A$ ， $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(6,-8)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 $B$ 和点 $E$ 的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点 $F$ ，使 $\mathit{\Delta FOE}\cong \mathit{\Delta FCE}$ ？若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是 $y$ 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为 $(0,m)$ ，直线 $\mathit{PB}$ 与直线 $l$ 交于点 $Q$ ，试探究：当 $m$ 为何值时， $\mathit{\Delta OPQ}$ 是等腰三角形．

如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为．

①当是直角三角形时，求点的坐标；

②作点关于点的对称点，则平面内存在直线，使点，，到该直线的距离都相等．当点在轴右侧的抛物线上，且与点不重合时，请直接写出直线的解析式．，可用含的式子表示）

如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点的直线交直线于点．

①当时，过抛物线上一动点（不与点，重合），作直线的平行线交直线于点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标；

②连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标．

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$ 经过 $A(-1,0)$ ， $C(3,0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $P$ 为直线 $\mathit{BC}$ 上方抛物线上一个动点，连接 $\mathit{PB}$ ， $\mathit{PC}$ ．设 $\mathit{\Delta PBC}$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，试求 $S$ 关于 $m$ 的函数解析式，并求出 $S$ 的最大值；

（3）如图2，连接 $\mathit{AB}$ ，点 $M(2,1)$ 为抛物线内一点，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使直线 $\mathit{QM}$ 与 $y$ 轴相交所成的锐角等于 $\angle \mathit{OAB}$ ？若存在，请直接写出点 $Q$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，过点的抛物线与直线交于点．点是线段上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点．设的面积为，点的横坐标为．

（1）请直接写出的值及抛物线的解析式．

（2）为探究最大时点的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下解析：

甲：借助的长与三角形面积公式，求出关于的函数关系式，可确定点的位置．

乙：当点运动到点或点时，的值可看作0，则当点运动到中点时，最大，即最大时，点为的中点．

请参考甲的方法求出最大时点的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由．

（3）拓展探究：如图2，直线与任意抛物线相交于、两点，是线段上的一个动点，过点作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点．当的面积最大时，点一定是线段的中点吗？试作出判断并说明理由．

如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当点位于轴下方时，求面积的最大值；

（3）设此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为．

①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

②当时，直接写出的面积．

已知函数为常数）

（1）当，

①点在此函数图象上，求的值；

②求此函数的最大值．

（2）已知线段的两个端点坐标分别为、，当此函数的图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围．

（3）当此函数图象上有4个点到轴的距离等于4，求的取值范围．

《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则　　．

【操作】将图①中抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为，如图②．直接写出图象对应的函数解析式．

【探究】在图②中，过点作直线平行于轴，与图象的交点从左至右依次为点，，，，如图③．求图象在直线上方的部分对应的函数随增大而增大时的取值范围．

【应用】是图③中图象上一点，其横坐标为，连接，．直接写出的面积不小于1时的取值范围．

定义：对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为．

（1）已知点在一次函数的相关函数的图象上，求的值；

（2）已知二次函数．①当点在这个函数的相关函数的图象上时，求的值；

②当时，求函数的相关函数的最大值和最小值；

（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，，，连结．直接写出线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点时的取值范围．

如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，的长度为，以为边向上作等边三角形，抛物线经过点，，三点

（1）当时，　　，当时，　　；

（2）根据（1）中的结果，猜想与的关系，并证明你的结论；

（3）如图2，在图1的基础上，作轴的平行线交抛物线于、两点，的长度为，当为等腰直角三角形时，和的关系式为　　；

（4）利用（2）（3）中的结论，求与的面积比．