初中数学二次函数的性质试题

如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．

（1）当点在上时，求点与点的最短距离；

（2）若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长；

（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；

（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．

如图，若是正数，直线与轴交于点；直线与轴交于点；抛物线的顶点为，且与轴右交点为．

（1）若，求的值，并求此时的对称轴与的交点坐标；

（2）当点在下方时，求点与距离的最大值；

（3）设，点，，，，，分别在，和上，且是，的平均数，求点，与点间的距离；

（4）在和所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出和时“美点”的个数．

设抛物线的解析式为 $y=a{x}^2$ ，过点 $B_1(1,0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_1(1,2)$ ；过点 $B_2(\frac{1}{2}$ ， $0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_2$ ； $\dots$ ；过点 $B_n({\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ ， $0\left)\right(n$ 为正整数）作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_n$ ，连接 $A_n{B}_{n+1}$ ，得 $\mathit{Rt}$ △ $A_n{B}_n{B}_{n+1}$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）直接写出线段 $A_n{B}_n$ ， $B_n{B}_{n+1}$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）；

（3）在系列 $\mathit{Rt}$ △ $A_n{B}_n{B}_{n+1}$ 中，探究下列问题：

①当 $n$ 为何值时， $\mathit{Rt}$ △ $A_n{B}_n{B}_{n+1}$ 是等腰直角三角形？

②设 $1⩽k<m⩽n(k$ ， $m$ 均为正整数），问：是否存在 $\mathit{Rt}$ △ $A_k{B}_k{B}_{k+1}$ 与 $\mathit{Rt}$ △ $A_m{B}_m{B}_{m+1}$ 相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．