初中数学反比例函数的性质解答题

先化简再求值： $(a-2+\frac{1}{a})÷\frac{{(a-1)}^2}{\left|a\right|}$，其中 $a$使反比例函数 $y=\frac{a}{x}$的图象分别位于第二、四象限．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，一次函数 $y＝\mathit{ax}+b（a\ne 0）$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}（k\ne 0，x＞0）$的图象相交于 $A（1，5）$， $B（m，1）$两点，与x轴，y轴分别交于点C，D，连接OA，OB．

（1）求反比例函数 $y=\frac{k}{x}（k\ne 0，x＞0）$和一次函数 $y＝\mathit{ax}+b（a\ne 0）$的表达式；

（2）求 $△\mathit{AOB}$的面积．

如图，在直角坐标系中，直线 $y_1=\mathit{ax}+b$与双曲线 $y_2=\frac{k}{x}(k\ne 0)$分别相交于第二、四象限内的 $A(m,4)$， $B(6,n)$两点，与 $x$轴相交于 $C$点．已知 $\mathit{OC}=3$， $\tan \angle \mathit{ACO}=\frac{2}{3}$．

（1）求 $y_1$， $y_2$对应的函数表达式；

（2）求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积；

（3）直接写出当 $x<0$时，不等式 $\mathit{ax}+b>\frac{k}{x}$的解集．

经过实验获得两个变量 $x(x>0)$， $y(y>0)$的一组对应值如下表．

$x$	1	2	3	4	5	6
$y$	6	2.9	2	1.5	1.2	1

（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．

（2）点 $A(x_1$， $y_1)$， $B(x_2$， $y_2)$在此函数图象上．若 $x_1<x_2$，则 $y_1$， $y_2$有怎样的大小关系？请说明理由．

设函数 $y_1=\frac{k}{x}$， $y_2=-\frac{k}{x}(k>0)$．

（1）当 $2⩽x⩽3$时，函数 $y_1$的最大值是 $a$，函数 $y_2$的最小值是 $a-4$，求 $a$和 $k$的值．

（2）设 $m\ne 0$，且 $m\ne -1$，当 $x=m$时， $y_1=p$；当 $x=m+1$时， $y_1=q$．圆圆说：“ $p$一定大于 $q$”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，顶点 $A$， $B$都在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，直线 $\mathit{AC}\perp x$轴，垂足为 $D$，连结 $\mathit{OA}$， $\mathit{OC}$，并延长 $\mathit{OC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，当 $\mathit{AB}=2\mathit{OA}$时，点 $E$恰为 $\mathit{AB}$的中点，若 $\angle \mathit{AOD}=45°$， $\mathit{OA}=2\sqrt{2}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求 $\angle \mathit{EOD}$的度数．

设一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k$， $b$是常数， $k\ne 0)$的图象过 $A(1,3)$， $B(-1,-1)$两点．

（1）求该一次函数的表达式；

（2）若点 $(2a+2,a^2)$在该一次函数图象上，求 $a$的值．

（3）已知点 $C(x_1$， $y_1)$和点 $D(x_2$， $y_2)$在该一次函数图象上，设 $m=(x_1-x_2)(y_1-y_2)$，判断反比例函数 $y=\frac{m+1}{x}$的图象所在的象限，说明理由．

如图，正比例函数 $y_1=-3x$的图象与反比例函数 $y_2=\frac{k}{x}$的图象交于 $A$、 $B$两点．点 $C$在 $x$轴负半轴上， $\mathit{AC}=\mathit{AO}$， $\mathit{\Delta ACO}$的面积为12．

（1）求 $k$的值；

（2）根据图象，当 $y_1>y_2$时，写出 $x$的取值范围．

请用学过的方法研究一类新函数 $y=\frac{k}{x^2}(k$为常数， $k\ne 0)$的图象和性质．

（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数 $y=\frac{6}{x^2}$的图象；

（2）对于函数 $y=\frac{k}{x^2}$，当自变量 $x$的值增大时，函数值 $y$怎样变化？

如图所示，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形，边 $\mathit{BC}$在 $x$轴上，点 $A(0,4)$，点 $B(3,0)$，双曲线 $y=\frac{k}{x}$与直线 $\mathit{BD}$交于点 $D$、点 $E$．

（1）求 $k$的值；

（2）求直线 $\mathit{BD}$的解析式；

（3）求 $\mathit{\Delta CDE}$的面积．

【探究函数 y = x + 4 x 的图象与性质】

（1）函数 $y=x+\frac{4}{x}$的自变量 $x$的取值范围是　　；

（2）下列四个函数图象中函数 $y=x+\frac{4}{x}$的图象大致是　　；

（3）对于函数 $y=x+\frac{4}{x}$，求当 $x>0$时， $y$的取值范围．

请将下列的求解过程补充完整．

解： $\because x>0$

$\therefore y=x+\frac{4}{x}={\left(\sqrt{x}\right)}^2+{\left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^2={(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})}^2+$　　

$\because {(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})}^2⩾0$

$\therefore y⩾$　　．

$[$拓展运用 $]$

（4）若函数 $y=\frac{x^2-5x+9}{x}$，则 $y$的取值范围　　．

如图，直线 $y=\mathit{kx}(k$为常数， $k\ne 0)$与双曲线 $y=\frac{m}{x}(m$为常数， $m>0)$的交点为 $A$、 $B$， $\mathit{AC}\perp x$轴于点 $C$， $\angle \mathit{AOC}=30°$， $\mathit{OA}=2$．

（1）求 $m$的值；

（2）点 $P$在 $y$轴上，如果 $S_{\mathit{\Delta ABP}}=3k$，求 $P$点的坐标．

如图，设反比例函数的解析式为 $y=\frac{3k}{x}(k>0)$．

（1）若该反比例函数与正比例函数 $y=2x$的图象有一个交点的纵坐标为2，求 $k$的值；

（2）若该反比例函数与过点 $M(-2,0)$的直线 $l:y=\mathit{kx}+b$的图象交于 $A$， $B$两点，如图所示，当 $\mathit{\Delta ABO}$的面积为 $\frac{16}{3}$时，求直线 $l$的解析式．

如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点 $O$沿 $x$轴向左平移2个单位长度得到点 $A$，过点 $A$作 $y$轴的平行线交反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象于点 $B$， $\mathit{AB}=\frac{3}{2}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若 $P(x_1$， $y_1)$、 $Q(x_2$， $y_2)$是该反比例函数图象上的两点，且 $x_1<x_2$时， $y_1>y_2$，指出点 $P$、 $Q$各位于哪个象限？并简要说明理由．

已知一次函数 $y=\mathit{kx}+b$与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象交于 $A(-3,2)$、 $B(1,n)$两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积；

（3）点 $P$在 $x$轴上，当 $\mathit{\Delta PAO}$为等腰三角形时，直接写出点 $P$的坐标．