初中数学反比例函数的性质解答题

学习了图形的旋转之后，小明知道，将点 $P$ 绕着某定点 $A$ 顺时针旋转一定的角度 $\alpha$ ，能得到一个新的点 $P\text{'}$ ，经过进一步探究，小明发现，当上述点 $P$ 在某函数图象上运动时，点 $P\text{'}$ 也随之运动，并且点 $P\text{'}$ 的运动轨迹能形成一个新的图形．

试根据下列各题中所给的定点 $A$ 的坐标、角度 $\alpha$ 的大小来解决相关问题．

【初步感知】

如图1，设 $A(1,1)$ ， $\alpha =90°$ ，点 $P$ 是一次函数 $y=\mathit{kx}+b$ 图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点 $P_1(-1,1)$ ．

（1）点 $P_1$ 旋转后，得到的点 $P_1\text{'}$ 的坐标为 　 $(1,3)$ 　；

（2）若点 $P\text{'}$ 的运动轨迹经过点 $P_2\text{'}(2,1)$ ，求原一次函数的表达式．

【深入感悟】

如图2，设 $A(0,0)$ ， $\alpha =45°$ ，点 $P$ 是反比例函数 $y=-\frac{1}{x}(x<0)$ 的图象上的动点，过点 $P\text{'}$ 作二、四象限角平分线的垂线，垂足为 $M$ ，求 $\mathit{\Delta OMP}\text{'}$ 的面积．

【灵活运用】

如图3，设 $A(1,-\sqrt{3})$ ， $\alpha =60°$ ，点 $P$ 是二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2+2\sqrt{3}x+7$ 图象上的动点，已知点 $B(2,0)$ 、 $C(3,0)$ ，试探究 $\mathit{\Delta BCP}\text{'}$ 的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．

已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点 $A$ 是反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 图象上的一个动点，连结 $\mathit{AO}$ ， $\mathit{AO}$ 的延长线交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x<0)$ 的图象于点 $B$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AE}\perp y$ 轴于点 $E$ ．

（1）如图1，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp x$ 轴，于点 $F$ ，连接 $\mathit{EF}$ ．

①若 $k=1$ ，求证：四边形 $\mathit{AEFO}$ 是平行四边形；

②连结 $\mathit{BE}$ ，若 $k=4$ ，求 $\mathit{\Delta BOE}$ 的面积．

（2）如图2，过点 $E$ 作 $\mathit{EP}//\mathit{AB}$ ，交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x<0)$ 的图象于点 $P$ ，连结 $\mathit{OP}$ ．试探究：对于确定的实数 $k$ ，动点 $A$ 在运动过程中， $\mathit{\Delta POE}$ 的面积是否会发生变化？请说明理由．

【阅读】

通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是"数形结合"思想的典型应用．

【理解】

（1）如图1， $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ ，垂足分别为 $C$ 、 $D$ ， $E$ 是 $\mathit{AB}$ 的中点，连接 $\mathit{CE}$ ．已知 $\mathit{AD}=a$ ， $\mathit{BD}=b(0<a<b)$ ．

①分别求线段 $\mathit{CE}$ 、 $\mathit{CD}$ 的长（用含 $a$ 、 $b$ 的代数式表示）；

②比较大小： $\mathit{CE}$ 　 　 $\mathit{CD}$ （填" $<$ "、" $=$ "或" $>$ " $)$ ，并用含 $a$ 、 $b$ 的代数式表示该大小关系．

【应用】

（2）如图2，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 在反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 的图象上，横坐标分别为 $m$ 、 $n$ ．设 $p=m+n$ ， $q=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ ，记 $l=\frac{1}{4}\mathit{pq}$ ．

①当 $m=1$ ， $n=2$ 时， $l=$ 　　；当 $m=3$ ， $n=3$ 时， $l=$ 　　；

②通过归纳猜想，可得 $l$ 的最小值是 　　．请根据图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标分别为，，，．

（1）填空：正方形的面积为　　；当双曲线与正方形有四个交点时，的取值范围是：　　；

（2）已知抛物线顶点在边上，与边，分别相交于点，，过点的双曲线与边交于点．

①点是平面内一动点，在抛物线的运动过程中，点随运动，分别求运动过程中点在最高位置和最低位置时的坐标；

②当点在点下方，，点不与，两点重合时，求的值；

③求证：抛物线与直线的交点始终位于轴下方．

我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于 $y$轴对称，则把该函数称之为“ $T$函数”，其图象上关于 $y$轴对称的不同两点叫做一对“ $T$点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）若点 $A(1,r)$与点 $B(s,4)$是关于 $x$的“ $T$函数” $y=\left\{\begin{array}{c}-\frac{4}{x}(x<0)\\ t{x}^2\left(x⩾0,t\ne 0,t\mathit{是常数}\right)\end{array}\right.$的图象上的一对“ $T$点”，则 $r=$　　， $s=$　　， $t=$　　（将正确答案填在相应的横线上）；

（2）关于 $x$的函数 $y=\mathit{kx}+p(k$， $p$是常数）是“ $T$函数”吗？如果是，指出它有多少对“ $T$点”如果不是，请说明理由；

（3）若关于 $x$的“ $T$函数” $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0$，且 $a$， $b$， $c$是常数）经过坐标原点 $O$，且与直线 $l:y=\mathit{mx}+n(m\ne 0$， $n>0$，且 $m$， $n$是常数）交于 $M(x_1$， $y_1)$， $N(x_2$， $y_2)$两点，当 $x_1$， $x_2$满足 ${(1-x_1)}^{-1}+x_2=1$时，直线 $l$是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的顶点坐标为 $A(0,0)$， $B(6,0)$， $C(6,8)$， $D(0,8)$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$．

（1）如图（1），双曲线 $y=\frac{k_1}{x}$过点 $E$，直接写出点 $E$的坐标和双曲线的解析式；

（2）如图（2），双曲线 $y=\frac{k_2}{x}$与 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$分别交于点 $M$， $N$，点 $C$关于 $\mathit{MN}$的对称点 $C\text{'}$在 $y$轴上．求证 $\mathit{\Delta CMN}~\mathit{\Delta CBD}$，并求点 $C\text{'}$的坐标；

（3）如图（3），将矩形 $\mathit{ABCD}$向右平移 $m(m>0)$个单位长度，使过点 $E$的双曲线 $y=\frac{k_3}{x}$与 $\mathit{AD}$交于点 $P$．当 $\mathit{\Delta AEP}$为等腰三角形时，求 $m$的值．

阅读下面的材料：

如果函数 $y=f\left(x\right)$满足：对于自变量 $x$取值范围内的任意 $x_1$， $x_2$，

（1）若 $x_1<x_2$，都有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$，则称 $f\left(x\right)$是增函数；

（2）若 $x_1<x_2$，都有 $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$，则称 $f\left(x\right)$是减函数．

例题：证明函数 $f\left(x\right)=x^2(x>0)$是增函数．

证明：任取 $x_1<x_2$，且 $x_1>0$， $x_2>0$．

则 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)$．

$\because x_1<x_2$且 $x_1>0$， $x_2>0$，

$\therefore x_1+x_2>0$， $x_1-x_2<0$．

$\therefore (x_1+x_2)(x_1-x_2)<0$，即 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0$， $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$．

$\therefore$函数 $f\left(x\right)=x^2(x>0)$是增函数．

根据以上材料解答下列问题：

（1）函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}(x>0)$， $f$（1） $=\frac{1}{1}=1$， $f$（2） $=\frac{1}{2}$， $f$（3） $=$　　， $f$（4） $=$　　；

（2）猜想 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}(x>0)$是 　　函数（填“增”或“减” $)$，并证明你的猜想．

如图，已知点 $A(1,2)$ 、 $B(5$ ， $n\left)\right(n>0)$ ，点 $P$ 为线段 $\mathit{AB}$ 上的一个动点，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $P$ ．小明说："点 $P$ 从点 $A$ 运动至点 $B$ 的过程中， $k$ 值逐渐增大，当点 $P$ 在点 $A$ 位置时 $k$ 值最小，在点 $B$ 位置时 $k$ 值最大．"

（1）当 $n=1$ 时．

①求线段 $\mathit{AB}$ 所在直线的函数表达式．

②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的 $k$ 的最小值和最大值．

（2）若小明的说法完全正确，求 $n$ 的取值范围．

菱形 $\mathit{ABCD}$在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的交点 $E$恰好在 $y$轴上，过点 $D$和 $\mathit{BC}$的中点 $H$的直线交 $\mathit{AC}$于点 $F$，线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{CD}$的长是方程 $x^2-9x+18=0$的两根，请解答下列问题：

（1）求点 $D$的坐标；

（2）若反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象经过点 $H$，则 $k=$　　；

（3）点 $Q$在直线 $\mathit{BD}$上，在直线 $\mathit{DH}$上是否存在点 $P$，使以点 $F$， $C$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象经过点 $A(2,3)$．

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）如图，在反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象上点 $A$的右侧取点 $C$，过点 $C$作 $x$轴的垂线交 $x$轴于点 $H$，过点 $A$作 $y$轴的垂线交直线 $\mathit{CH}$于点 $D$．

①过点 $A$，点 $C$分别作 $x$轴， $y$轴的垂线，两线相交于点 $B$，求证： $O$， $B$， $D$三点共线；

②若 $\mathit{AC}=2\mathit{OA}$，求证： $\angle \mathit{AOD}=2\angle \mathit{DOH}$．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，一次函数 $y=\frac{1}{2}x+b$ 的图象分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $C$ ，连接 $\mathit{OC}$ ．已知点 $A(-4,0)$ ， $\mathit{AB}=2\mathit{BC}$ ．

（1）求 $b$ 、 $k$ 的值；

（2）求 $\mathit{\Delta AOC}$ 的面积．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$ 与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$ 的图象交于点 $A(2,3)$ ， $B(n,-1)$ ．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）判断点 $P(-2,1)$ 是否在一次函数 $y=k_{1}x+b$ 的图象上，并说明理由；

（3）写出不等式 $k_{1}x+b⩾\frac{k_2}{x}$ 的解集．

小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数 $y=\frac{x-2}{x}(x\ne 0)$的图象与性质进行探究．

因为 $y=\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}$，即 $y=-\frac{2}{x}+1$，所以可以对比函数 $y=-\frac{2}{x}$来探究．

列表：（1）下表列出 $y$与 $x$的几组对应值，请写出 $m$， $n$的值： $m=$　　， $n=$　　；

$x$	$\dots$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	$\dots$
$y=-\frac{2}{x}$	$\dots$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	1	2	4	$-4$	$-2$	$-1$	$-\frac{2}{3}$	$-\frac{1}{2}$	$\dots$
$y=\frac{x-2}{x}$	$\dots$	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{3}$	2	3	$m$	$-3$	$-1$	0	$n$	$\frac{1}{2}$	$\dots$

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$的取值为横坐标，以 $y=\frac{x-2}{x}$相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（2）请把 $y$轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；

（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当 $x<0$时， $y$随 $x$的增大而 　　；（填“增大”或“减小” $)$

②函数 $y=\frac{x-2}{x}$的图象是由 $y=-\frac{2}{x}$的图象向 　　平移 　　个单位而得到．

③函数图象关于点 　　中心对称．（填点的坐标）

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\frac{4}{3}x-2$ 的图象与 $y$ 轴相交于点 $A$ ，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 在第一象限内的图象相交于点 $B(m,2)$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BC}\perp y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积．

如图，点 $P$ 为函数 $y=\frac{1}{2}x+1$ 与函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$ 图象的交点，点 $P$ 的纵坐标为4， $\mathit{PB}\perp x$ 轴，垂足为点 $B$ ．

（1）求 $m$ 的值；

（2）点 $M$ 是函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$ 图象上一动点，过点 $M$ 作 $\mathit{MD}\perp \mathit{BP}$ 于点 $D$ ，若 $\tan \angle \mathit{PMD}=\frac{1}{2}$ ，求点 $M$ 的坐标．