初中数学反比例函数的性质解答题

已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象过点 $A(3,1)$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若一次函数 $y=\mathit{ax}+6(a\ne 0)$的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m\ne 0)$的图象交于 $A$、 $B$两点，与 $x$轴交于 $C$点，点 $A$的坐标为 $(n,6)$，点 $C$的坐标为 $(-2,0)$，且 $\tan \angle \mathit{ACO}=2$．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求点 $B$的坐标．

【探究函数 y = x + 4 x 的图象与性质】

（1）函数 $y=x+\frac{4}{x}$的自变量 $x$的取值范围是　　；

（2）下列四个函数图象中函数 $y=x+\frac{4}{x}$的图象大致是　　；

（3）对于函数 $y=x+\frac{4}{x}$，求当 $x>0$时， $y$的取值范围．

请将下列的求解过程补充完整．

解： $\because x>0$

$\therefore y=x+\frac{4}{x}={\left(\sqrt{x}\right)}^2+{\left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^2={(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})}^2+$　　

$\because {(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})}^2⩾0$

$\therefore y⩾$　　．

$[$拓展运用 $]$

（4）若函数 $y=\frac{x^2-5x+9}{x}$，则 $y$的取值范围　　．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y_1=\mathit{ax}+b$的图象与反比例函数 $y_2=\frac{k}{x}$的图象交于点 $A(1,2)$和 $B(-2,m)$．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）请直接写出 $y_1>y_2$时， $x$的取值范围；

（3）过点 $B$作 $\mathit{BE}//x$轴， $\mathit{AD}\perp \mathit{BE}$于点 $D$，点 $C$是直线 $\mathit{BE}$上一点，若 $\mathit{AC}=2\mathit{CD}$，求点 $C$的坐标．

如图，点 $P$ 为函数 $y=\frac{1}{2}x+1$ 与函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$ 图象的交点，点 $P$ 的纵坐标为4， $\mathit{PB}\perp x$ 轴，垂足为点 $B$ ．

（1）求 $m$ 的值；

（2）点 $M$ 是函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$ 图象上一动点，过点 $M$ 作 $\mathit{MD}\perp \mathit{BP}$ 于点 $D$ ，若 $\tan \angle \mathit{PMD}=\frac{1}{2}$ ，求点 $M$ 的坐标．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$与反比例函数 $y=\frac{4}{x}$的图象交于 $A(m,4)$、 $B(2,n)$两点，与坐标轴分别交于 $M$、 $N$两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出 $\mathit{kx}+b-\frac{4}{x}>0$中 $x$的取值范围；

（3）求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积．

如图，设反比例函数的解析式为 $y=\frac{3k}{x}(k>0)$．

（1）若该反比例函数与正比例函数 $y=2x$的图象有一个交点的纵坐标为2，求 $k$的值；

（2）若该反比例函数与过点 $M(-2,0)$的直线 $l:y=\mathit{kx}+b$的图象交于 $A$， $B$两点，如图所示，当 $\mathit{\Delta ABO}$的面积为 $\frac{16}{3}$时，求直线 $l$的解析式．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$ 中， $\mathit{AO}\perp \mathit{BO}$ ， $\mathit{AB}\perp y$ 轴， $O$ 为坐标原点， $A$ 的坐标为 $(n,\sqrt{3})$ ，反比例函数 $y_1=\frac{k_1}{x}$ 的图象的一支过 $A$ 点，反比例函数 $y_2=\frac{k_2}{x}$ 的图象的一支过 $B$ 点，过 $A$ 作 $\mathit{AH}\perp x$ 轴于 $H$ ，若 $\mathit{\Delta AOH}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

（1）求 $n$ 的值；

（2）求反比例函数 $y_2$ 的解析式．

如图，一次函数 $y=x+4$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k$为常数且 $k\ne 0)$的图象交于 $A(-1,a)$， $B$两点，与 $x$轴交于点 $C$．

（1）求此反比例函数的表达式；

（2）若点 $P$在 $x$轴上，且 $S_{\mathit{\Delta ACP}}=\frac{3}{2}{S}_{\mathit{\Delta BOC}}$，求点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点 $O$沿 $x$轴向左平移2个单位长度得到点 $A$，过点 $A$作 $y$轴的平行线交反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象于点 $B$， $\mathit{AB}=\frac{3}{2}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若 $P(x_1$， $y_1)$、 $Q(x_2$， $y_2)$是该反比例函数图象上的两点，且 $x_1<x_2$时， $y_1>y_2$，指出点 $P$、 $Q$各位于哪个象限？并简要说明理由．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$的图象交于 $A(2,-1)$， $B(\frac{1}{2}$， $n)$两点，直线 $y=2$与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图所示，一次函数 $y＝\mathit{kx}+b$与反比例函数 $y＝\frac{m}{x}$的图象交于 $A（2，4\mathit{），}$ $B\mathit{（﹣}4，n）$两点．

（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；

（2）过点B作 $\mathit{BC}\perp x$轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．

如图， P ₁、 P ₂是反比例函数 $y=\frac{\text{k}}{\text{x}}(k>0)$ 在第一象限图象上的两点，点 A ₁的坐标为（4，0）．若△ P ₁ OA ₁与△ P ₂ A ₁ A ₂均为等腰直角三角形，其中点 P ₁、 P ₂为直角顶点．

（1）求反比例函数的解析式．

（2）①求 P ₂的坐标．

②根据图象直接写出在第一象限内当 x满足什么条件时，经过点 P ₁、 P ₂的一次函数的函数值大于反比例函数 $y=\frac{\text{k}}{\text{x}}$ 的函数值．

如图，一次函数 $y=\mathit{ax}+b$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象交于点 $A$、 $B$，与 $x$轴交于点 $C(5,0)$，若 $\mathit{OC}=\mathit{AC}$，且 $S_{\mathit{\Delta OAC}}=10$．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）请直接写出不等式 $\mathit{ax}+b>\frac{k}{x}$的解集．

已知一次函数 $y=\mathit{kx}+b$与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象交于 $A(-3,2)$、 $B(1,n)$两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积；

（3）点 $P$在 $x$轴上，当 $\mathit{\Delta PAO}$为等腰三角形时，直接写出点 $P$的坐标．