初中数学反比例函数的性质解答题

如图， P ₁、 P ₂是反比例函数 $y=\frac{\text{k}}{\text{x}}(k>0)$ 在第一象限图象上的两点，点 A ₁的坐标为（4，0）．若△ P ₁ OA ₁与△ P ₂ A ₁ A ₂均为等腰直角三角形，其中点 P ₁、 P ₂为直角顶点．

（1）求反比例函数的解析式．

（2）①求 P ₂的坐标．

②根据图象直接写出在第一象限内当 x满足什么条件时，经过点 P ₁、 P ₂的一次函数的函数值大于反比例函数 $y=\frac{\text{k}}{\text{x}}$ 的函数值．

如图所示，一次函数 $y＝\mathit{kx}+b$与反比例函数 $y＝\frac{m}{x}$的图象交于 $A（2，4\mathit{），}$ $B\mathit{（﹣}4，n）$两点．

（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；

（2）过点B作 $\mathit{BC}\perp x$轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．

已知一次函数y＝k₁x+b与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$的图象交于第一象限内的P（ $\frac{1}{2}$，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点．

（1）分别求出这两个函数的表达式；

（2）写出点P关于原点的对称点P'的坐标；

（3）求∠P'AO的正弦值．

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3交y轴于点A，交反比例函数 $y=\frac{\text{k}}{\text{x}}(k<0)$的图象于点D， $y=\frac{\text{k}}{\text{x}}(k<0)$的图象过矩形OABC的顶点B，矩形OABC的面积为4，连接OD．

（1）求反比例函数 $y=\frac{\text{k}}{\text{x}}$的表达式；

（2）求△AOD的面积．

如图，直角三角板ABC放在平面直角坐标系中（AC过O点），直角边AB垂直x轴，垂足为Q，已知∠ACB＝60°，点A，C，P均在反比例函数y＝的图象上，分别作PF⊥x轴于F，AD⊥y轴于D，延长DA，FP交于点E，且点P为EF的中点．

（1）求点B的坐标；

（2）求四边形AOPE的面积．

已知反比例函数 y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象在二四象限，一次函数为 y＝ kx+ b（ b＞0），直线 x＝1与 x轴交于点 B，与直线 y＝ kx+ b交于点 A，直线 x＝3与 x轴交于点 C，与直线 y＝ kx+ b交于点 D．

（1）若点 A， D都在第一象限，求证： b＞﹣3 k；

（2）在（1）的条件下，设直线 y＝ kx+ b与 x轴交于点 E与 y轴交于点 F，当 $\frac{\mathit{ED}}{\mathit{EA}}$ ＝ $\frac{3}{4}$ 且△ OFE的面积等于 $\frac{27}{2}$ 时，求这个一次函数的解析式，并直接写出不等式 $\frac{k}{x}$ ＞ kx+ b的解集．

如图，反比例函数 y＝ $\frac{k_1}{x}$ 与一次函数 y＝ k ₂ x+ b的图象交于 A（2，4）， B（﹣4， m）两点．

（1）求 k ₁， k ₂， b的值；

（2）求△ AOB的面积；

（3）若 M（ x ₁， y ₁）， N（ x ₂， y ₂）是反比例函数 y＝ $\frac{k_1}{x}$ 的图象上的两点，且 x ₁＜ x ₂， y ₁＜ y ₂，指出点 M、 N各位于哪个象限．

已知自变量 $x$ 与因变量 $y_1$ 的对应关系如表呈现的规律．

$x$	$\dots$	$-2$	$-1$	0	1	2	$\dots$
$y_1$	$\dots$	12	11	10	9	8	$\dots$

（1）直接写出函数解析式及其图象与 $x$ 轴和 $y$ 轴的交点 $M$ ， $N$ 的坐标；

（2）设反比例函数 $y_2=\frac{k}{x}(k>0)$ 的图象与（1）求得的函数的图象交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点且 $S_{\mathit{\Delta AOB}}=30$ ，求反比例函数解析式；已知 $a\ne 0$ ，点 $(a,y_2)$ 与 $(a,y_1)$ 分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出 $y_2$ 与 $y_1$ 的大小关系．

如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，点 $A$ ， $B$ 在函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象上（点 $B$ 的横坐标大于点 $A$ 的横坐标），点 $A$ 的坐标为 $(2,4)$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AD}\perp x$ 轴于点 $D$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BC}\perp x$ 轴于点 $C$ ，连接 $\mathit{OA}$ ， $\mathit{AB}$ ．

（1）求 $k$ 的值．

（2）若 $D$ 为 $\mathit{OC}$ 中点，求四边形 $\mathit{OABC}$ 的面积．

如图，已知点 $A(1,2)$ 、 $B(5$ ， $n\left)\right(n>0)$ ，点 $P$ 为线段 $\mathit{AB}$ 上的一个动点，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $P$ ．小明说："点 $P$ 从点 $A$ 运动至点 $B$ 的过程中， $k$ 值逐渐增大，当点 $P$ 在点 $A$ 位置时 $k$ 值最小，在点 $B$ 位置时 $k$ 值最大．"

（1）当 $n=1$ 时．

①求线段 $\mathit{AB}$ 所在直线的函数表达式．

②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的 $k$ 的最小值和最大值．

（2）若小明的说法完全正确，求 $n$ 的取值范围．

如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点．点为轴正半轴上一点，过作轴的垂线交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点．

（1）求的值及正比例函数的表达式；

（2）若，求的面积．

如图所示，的顶点在反比例函数的图象上，直线交轴于点，且点的纵坐标为5，过点、分别作轴的垂线、，垂足分别为点、，且．

（1）若点为线段的中点，求的值；

（2）若为等腰直角三角形，，其面积小于3．

①求证：；

②把称为，，，两点间的“距离”，记为，求，，的值．

如图，反比例函数 $y_1=\frac{m}{x}(x>0)$ 和一次函数 $y_2=\mathit{kx}+b$ 的图象都经过点 $A(1,4)$ 和点 $B(n,2)$ ．

（1） $m=$ 　 　， $n=$ 　　；

（2）求一次函数的解析式，并直接写出 $y_1<y_2$ 时 $x$ 的取值范围；

（3）若点 $P$ 是反比例函数 $y_1=\frac{m}{x}(x>0)$ 的图象上一点，过点 $P$ 作 $\mathit{PM}\perp x$ 轴，垂足为 $M$ ，则 $\mathit{\Delta POM}$ 的面积为 　　．

如图，已知一次函数 $y_1=\mathit{kx}+b$ 与反比例函数 $y_2=\frac{m}{x}$ 的图象在第一、三象限分别交于 $A(6,1)$ ， $B(a,-3)$ 两点，连接 $\mathit{OA}$ ， $\mathit{OB}$ ．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2） $\mathit{\Delta AOB}$ 的面积为 　 　；

（3）直接写出 $y_1>y_2$ 时 $x$ 的取值范围．

九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数 $y=\frac{2}{\left|x\right|}$ 的图象与性质共探究过程如下：

（1）绘制函数图象，如图1．

列表：下表是 $x$ 与 $y$ 的几组对应值，其中 $m=$ 　　；

$x$	$\dots$	$-3$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	$\dots$
$y$	$\dots$	$\frac{2}{3}$	1	2	4	4	2	$m$	$\frac{2}{3}$	$\dots$

描点：根据表中各组对应值 $(x,y)$ ，在平面直角坐标系中描出了各点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；

（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；

① 　　；

② 　　；

（3）①观察发现：如图2．若直线 $y=2$ 交函数 $y=\frac{2}{\left|x\right|}$ 的图象于 $A$ ， $B$ 两点，连接 $\mathit{OA}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$ 交 $x$ 轴于 $C$ ．则 $S_{\mathit{四边形}\mathit{OABC}}=$ 　　；

②探究思考：将①中"直线 $y=2$ "改为"直线 $y=a(a>0)$ "，其他条件不变，则 $S_{\mathit{四边形}\mathit{OABC}}=$ 　　；

③类比猜想：若直线 $y=a(a>0)$ 交函数 $y=\frac{k}{\left|x\right|}(k>0)$ 的图象于 $A$ ， $B$ 两点，连接 $\mathit{OA}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$ 交 $x$ 轴于 $C$ ，则 $S_{\mathit{四边形}\mathit{OABC}}=$ 　　．