初中数学

综合与实践

【问题情境】

数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在正方形 A B C D 中,E是BC的中点, A E E P E P 与正方形的外角 D C G 的平分线交于 P 点.试猜想 A E E P 的数量关系,并加以证明;

【思考尝试】

(1)同学们发现,取 A B 的中点 F ,连接 E F 可以解决这个问题.请在图1中补全图形,解答老师提出的问题.

【实践探究】

(2)希望小组受此问题启发,逆向思考这个题目,并提出新的问题:如图2,在正方形 A B C D 中, E B C 边上一动点(点 E B 不重合), A E P 是等腰直角三角形, A E P 90 ° ,连接 C P ,可以求出 D C P 的大小,请你思考并解答这个问题.

【拓展迁移】

(3)突击小组深入研究希望小组提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形 A B C D 中, E B C 边上一动点(点 E B 不重合), A E P 是等腰直角三角形, A E P 90 ° ,连接 D P .知道正方形的边长时,可以求出 A D P 周长的最小值.当 A B 4 时,请你求出 A D P 周长的最小值.

来源:2022年甘肃省兰州市中考数学试卷
  • 更新:2022-12-16
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,已知抛物线 y a x 2 + b x + 3 a 0 x 轴交于 A 1 0 B 4 0 两点,与 y 轴交于点 C ,点 D 为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的函数表达式及点 D 的坐标;

(2)若四边形 B C E F 为矩形, C E 3 .点 M 以每秒 1 个单位的速度从点 C 沿 C E 向点 E 运动,同时点 N 以每秒 2 个单位的速度从点 E 沿 E F 向点 F 运动,一点到达终点,另一点随之停止.当以 M E N 为顶点的三角形与 B O C 相似时,求运动时间 t 的值;

(3)抛物线的对称轴与 x 轴交于点 P ,点 G 是点 P 关于点 D 的对称点,点 Q x 轴下方抛物线上的动点.若过点 Q 的直线 l y kx + m | k | 9 4 与抛物线只有一个公共点,且分别与线段 G A G B 相交于点 H K ,求证: G H + G K 为定值.

来源:2022年湖南省张家界市中考数学试卷
  • 更新:2022-12-12
  • 题型:未知
  • 难度:未知

综合与实践

综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

(1)操作判断

操作一:对折矩形纸片 A B C D ,使 A D B C 重合,得到折痕 E F ,把纸片展平;

操作二:在 A D 上选一点 P ,沿 B P 折叠,使点 A 落在矩形内部点 M 处,把纸片展平,连接 P M B M

根据以上操作,当点 M E F 上时,写出图1中一个 30 ° 的角:______.

(2)迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:

将正方形纸片 A B C D 按照(1)中的方式操作,并延长 P M C D 于点 Q ,连接 B Q

①如图2,当点 M E F 上时, M B Q ______ ° C B Q ______ °

②改变点 P A D 上的位置(点 P 不与点 A D 重合),如图3,判断 M B Q C B Q 的数量关系,并说明理由.

(3)拓展应用

在(2)的探究中,已知正方形纸片 A B C D 的边长为 8 c m ,当 F Q 1 c m 时,直接写出 A P 的长.

来源:2022年河南省中考数学试卷
  • 更新:2022-12-06
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图1,在矩形 A B C D 中, A B 4 A D 3 ,点 O 是边 A B 上一个动点(不与点 A 重合),连接 E G O D ,将 O A D 沿 O D 折叠,得到 O E D ;再以 O 为圆心, O A 的长为半径作半圆,交射线 A B G ,连接 A E 并延长交射线 B C F ,连接,设 O A x

(1)求证: D E 是半圆 O 的切线:

(2)当点 E 落在 B D 上时,求 x 的值;

(3)当点 E 落在 B D 下方时,设 A G E A F B 面积的比值为 y ,确定 y x 之间的函数关系式;

(4)直接写出:当半圆 O B C D 的边有两个交点时, x 的取值范围.

来源:2022年湖北省荆州市中考数学试卷
  • 更新:2022-12-01
  • 题型:未知
  • 难度:未知

抛物线 y x 2 2 x 3 x 轴于 A B 两点( A B 的左边), C 是第一象限抛物线上一点,直线 A C y 轴于点 P

(1)直接写出 A B 两点的坐标;

(2)如图(1),当 O P O A 时,在抛物线上存在点 D (异于点 B ),使 B D 两点到 A C 的距离相等,求出所有满足条件的点 D 的横坐标;

(3)如图(2),直线 B P 交抛物线于另一点 E ,连接 C E y 轴于点 F ,点 C 的横坐标为 m .求 FP OP 的值(用含 m 的式子表示).

来源:2022年湖北省武汉市中考数学试卷
  • 更新:2022-11-24
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y a x 2 + b x 3 经过点 B 6 0 和点 D 4 3 ,与 x 轴的另一个交点为 A ,与 y 轴交于点 C ,作直线 A D

(1)①求抛物线的函数表达式;

②直接写出直线 A D 的函数表达式;

2)点 E 是直线 A D 下方的抛物线上一点,连接 B E A D 于点 F ,连接 B D D E B D F 的面积记为 S 1 D E F 的面积记为 S 2 ,当 S 1 2 S 2 时,求点 E 的坐标;

3)点 G 为抛物线的顶点,将抛物线图象中 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折,与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为 C 1 ,点 C 的对应点为 C ,点 G 的对应点为 G ,将曲线 C 1 沿 y 轴向下平移 n 个单位长度 0 n 6 .曲线 C 1 与直线 B C 的公共点中,选两个公共点记作点 P 和点 Q ,若四边形 C G Q P 是平行四边形,直接写出点 P 的坐标.

来源:2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷
  • 更新:2022-11-17
  • 题型:未知
  • 难度:未知

【特例感知】

(1)如图1, A O B C O D 是等腰直角三角形, A O B C O D 90 ° ,点 C O A 上,点 D B O 的延长线上,连接 A D B C ,线段 A D B C 的数量关系是______;

【类比迁移】

(2)如图2,将图1中的 C O D 绕着点 O 顺时针旋转 α 0 ° α 90 ° ,那么第(1)问的结论是否仍然成立?如果成立,证明你的结论;如果不成立,说明理由.

【方法运用】

(3)如图3,若 A B 8 ,点 C 是线段 A B 外一动点, A C 3 3 ,连接 B C

①若将 C B 绕点 C 逆时针旋转 90 ° 得到 C D ,连接 A D ,则 A D 的最大值是______;

②若以 B C 为斜边作 R t B C D B C D 三点按顺时针排列), C D B 90 ° ,连接 A D ,当 C B D D A B 30 ° 时,直接写出 A D 的值.

来源:2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷
  • 更新:2022-11-17
  • 题型:未知
  • 难度:未知

抛物线的解析式是 y x 2 + 4 x + a .直线 y x + 2 x 轴交于点 M ,与 y 轴交于点 E ,点 F 与直线上的点 G 5 3 关于 x 轴对称.

(1)如图①,求射线 M F 的解析式;

2)在(1)的条件下,当抛物线与折线EMF有两个交点时,设两个交点的横坐标是 x 1 x 2 x 1 x 2 ,求 x 1 + x 2 的值;

(3)如图②,当抛物线经过点 C 0 5 时,分别与 x 轴交于 A B 两点,且点 A 在点 B 的左侧.在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P ,设射线 A P 与直线 y x + 2 交于点 N .求 PN AN 的最大值.

来源:2022年四川省德阳市中考数学试卷
  • 更新:2022-11-11
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知正方形ABCDE为对角线AC上一点.

【建立模型】

(1)如图1,连接BEDE.求证: B E D E

【模型应用】

(2)如图2,FDE延长线上一点, F B B E EFAB于点G

①判断△FBG的形状并说明理由;

②若GAB的中点,且AB=4,求AF的长.

【模型迁移】

(3)如图3,FDE延长线上一点, F B B E EFAB于点G B E B F .求证: G E 2 - 1 D E

来源:2022年甘肃省白银市、天水市、武威市、张掖市、平凉市、酒泉市、庆阳市、定西市、陇南市、临夏州、甘南州、金昌市、嘉峪关市中考数学试卷
  • 更新:2022-11-01
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在菱形 A B C D 中, B A D 120 ° A B 6 ,连接 B D

(1)求 B D 的长;

(2)点E为线段 B D 上一动点(不与点BD重合),点 F 在边 A D 上,且 B E = 3 D F

①当 C E A B 时,求四边形 A B E F 的面积;

②当四边形 A B E F 的面积取得最小值时, C E + 3 C F 的值是否也最小?如果是,求 C E + 3 C F 的最小值;如果不是,请说明理由.

来源:2022年广东省广州市中考数学试卷
  • 更新:2022-10-28
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知直线 l y k x + b 经过点 0 , 7 和点 1 , 6

(1)求直线 l 的解析式;

(2)若点 P m , n 在直线l上,以P为顶点的抛物线G过点 0 , 3 ,且开口向下.

①求m的取值范围;

②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q,当点Q向左平移1个单位长度后得到的点 Q 也在G上时,求G 4 m 5 x 4 m 5 + 1 的图象的最高点的坐标.

来源:2022年广东省广州市中考数学试卷
  • 更新:2022-10-28
  • 题型:未知
  • 难度:未知

某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度.如图,在某一时刻,旗杆AB的影子为BC,与此同时在C处立一根标杆CD,标杆CD的影子为CE C D 1 . 6 m , B C 5 C D

(1)求 B C 的长;

(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求旗杆AB的高度.

条件①: C E 1 . 0 m ;条件②:从D处看旗杆顶部A的仰角 α 54 . 46 °

注:如果选择条件①和条件②分别作答,按第一个解答计分.

参考数据: sin 54 . 46 ° 0 . 81 , cos 54 . 46 ° 0 . 58 , tan 54 . 46 ° 1 . 40

来源:2022年广东省广州市中考数学试卷
  • 更新:2022-10-28
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且 A C 8 , B C 6

(1)尺规作图:过点OAC的垂线,交劣弧 AC ̂ 于点D,连接CD(保留作图痕迹,不写作法);

(2)在(1)所作的图形中,求点OAC的距离及 sin A C D 的值.

来源:2022年广东省广州市中考数学试卷
  • 更新:2022-10-28
  • 题型:未知
  • 难度:未知

在平面直角坐标系 x O y 中,已知抛物线 y a x 2 + b x 经过 A 4 , 0 , B 1 , 4 两点. P 是抛物线上一点,且在直线 A B 的上方.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若 O A B 面积是 P A B 面积的2倍,求点 P 的坐标;

3)如图, O P A B 于点 C P D B O A B 于点 D .记 C D P C P B , C B O 的面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 .判断 S 1 S 2 + S 2 S 3 是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.

来源:2022年福建省中考数学试卷
  • 更新:2022-10-27
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知 A B C D E C A B A C A B B C

(1)如图1, C B 平分 A C D ,求证:四边形 A B D C 是菱形;

(2)如图2,将(1)中的 C D E 绕点 C 逆时针旋转(旋转角小于 B A C ), B C , D E 的延长线相交于点 F ,用等式表示 A C E E F C 之间的数量关系,并证明;

(3)如图3,将(1)中的 C D E 绕点 C 顺时针旋转(旋转角小于 A B C ),若 B A D B C D ,求 A D B 的度数.

来源:2022年福建省中考数学试卷
  • 更新:2022-10-27
  • 题型:未知
  • 难度:未知

初中数学试题