高中数学解答题

[选修4-5：不等式选讲]

已知函数 $f（x）=–x^2+\mathit{ax}+4，g\left(x\right)=\mathit{│x}+1│+\mathit{│x–}1│$ .

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ 的解集；

（2）若不等式 $f（x）\ge g（x）$ 的解集包含 $\left[–1，1\right]$ ，求 a的取值范围.

[选修4―4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，曲线 C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=3\mathit{cos}\theta ,\\ y=\mathit{sin}\theta ,\end{array}\right.（\theta \mathrm{为参数}）$ ，直线 l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=a+4t,\\ y=1-t,\end{array}\right.\left(\mathit{t}\mathit{为参数}\right)$ .

（1）若 $a=-1$ ，求 C与 l的交点坐标；

（2）若 C上的点到 l的距离的最大值为 $\sqrt{17}$ ，求a.

已知函数 $f（x)=a{e}^{2x}+(a﹣2){\mathit{e}}^x﹣x$.

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）若 $f\left(x\right)$有两个零点，求a的取值范围.

已知椭圆C： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0）$，四点P₁（1,1），P₂（0,1），P₃ $（–1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，P₄ $（1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P₂点且与C相交于A，B两点.若直线P₂A与直线P₂B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$之外的零件数，求 $P(X\ge 1)$及 $X$的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得 $\bar{x}=\frac{1}{16}\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}{x}_i=9.97$， $s=\sqrt{\frac{1}{16}\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}(x_i-\bar{x}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{16}(\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}{x}_i^2-16{\bar{x}}^2{)}^2}\approx 0.212$，其中 $x_i$为抽取的第 $i$个零件的尺寸， $i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,16$．

用样本平均数 $\bar{x}$作为 $\mu$的估计值 $\stackrel{̂}{\mu }$，用样本标准差 $s$作为 $\sigma$的估计值 $\stackrel{̂}{\sigma }$，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 $(\stackrel{̂}{\mu }-3\stackrel{̂}{\sigma },\stackrel{̂}{\mu }+3\stackrel{̂}{\sigma })$之外的数据，用剩下的数据估计 $\mu$和 $\sigma$（精确到0.01）．

附：若随机变量 $Z$服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $P(\mu -3\sigma <Z<\mu +3\sigma )=0.9974$，

$0.9974^{16}=0.9592$， $\sqrt{0.008}\approx 0.09$．

如图，在四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$ ，且 $\angle \mathit{BAP}=\angle \mathit{CDP}=90^{\circ }$ .

（1）证明：平面 $\mathit{PAB}\perp$ 平面 $\mathit{PAD}$ ；

（2）若 $\mathit{PA}=\mathit{PD}=\mathit{AB}=\mathit{DC}$ ， $\angle \mathit{APD}=90^{\circ }$ ，求二面角 $A-\mathit{PB}-C$ 的余弦值.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $△\mathit{ABC}$的面积为 $\frac{a^2}{3\mathit{sin}A}$   

（1）求 $\mathit{sinBsinC}$;

（2）若 $6\mathit{cosBcosC}=1$， $a=3$，求 $△\mathit{ABC}$的周长.

[选修4-5：不等式选讲]

已知函数 $f（x）=\left|2x﹣a\right|+a$ ．

（1）当 $a=2$ 时，求不等式 $f（x）\le 6$ 的解集；

（2）设函数 $g（x）=\left|2x﹣1\right|$ ，当 $x\in R$ 时， $f（x）+g（x）\ge 3$ ，求a的取值范围．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{3}\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array}\right.（\alpha \mathrm{为参数}）$ ，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\mathit{\rho sin}（\theta +\frac{\pi }{4}）=2\sqrt{2}$ ．

（1）写出 $C_1$ 的普通方程和 $C_2$ 的直角坐标方程；

（2）设点P在 $C_1$ 上，点Q在 $C_2$ 上，求 $\left|\mathit{PQ}\right|$ 的最小值及此时P的直角坐标．

[选修4-1：几何证明选讲]如图，⊙O中 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．

（1）若 $\angle \mathit{PFB}=2\angle \mathit{PCD}$，求 $\angle \mathit{PCD}$的大小；

（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明： $\mathit{OG}\perp \mathit{CD}$．

设函数 $f（x）=\mathit{lnx}﹣x+1$．

（1）讨论 $f（x）$的单调性；

（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜ $\frac{x-1}{\ln x}$ ＜x；

（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c^x ．

已知抛物线 $C：y^2=2x$ 的焦点为F，平行于x轴的两条直线 $l_1$ ， $l_2$ 分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明 $\mathit{AR}\parallel \mathit{FQ}$ ；

（2）若 $△\mathit{PQF}$ 的面积是 $△\mathit{ABF}$ 的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

如图，四棱锥 $P﹣\mathit{ABCD}$ 中， $PA\mathit{\perp }\mathit{底面}\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=\mathit{AC}=3$ ， $\mathit{PA}=\mathit{BC}=4$ ，M为线段AD上一点， $\mathit{AM}=2\mathit{MD}$ ，N为PC的中点．

（1）证明 $\mathit{MN}\parallel \mathrm{平面}PAB$；

（2）求四面体 $N﹣\mathit{BCM}$ 的体积．

如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据： $\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}\mathrm{y}\mathrm{i}=9.32$ ， $\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{y}\mathrm{i}=40.17$ ， $\sqrt{\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}^2}$ $=0.55$ ， $\sqrt{7}\approx 2.646$ ．

参考公式： $r=\frac{\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)}^2\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}^2}}$ ，回归方程 $\stackrel{\wedge }{y}=\stackrel{\wedge }{a}+\stackrel{\wedge }{b}t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$\stackrel{\wedge }{b}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)}^2}$ ， $\stackrel{\wedge }{a}=\stackrel{-}{y}-\stackrel{\wedge }{b}\stackrel{-}{t}$ ．

已知各项都为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$ ， $a_n^2\mathit{﹣（}2a_{n+1}﹣1）a_n﹣2a_{n+1}=0$

（1）求 $a_2\mathit{ }$ ， $a_3$ ；

（2）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．