高中数学
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组合几何

在直角坐标系 xOy 中,点 P x 轴的距离等于点 P 到点 0 , 1 2 的距离,记动点 P 的轨迹为 W

(1)求 W 的方程;

(2)已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上,证明:矩形 ABCD 的周长大于 3 3

来源:2023年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)
  • 更新:2024-03-22
  • 题型:解答题
  • 难度:较难

已知函数 f x = 1 x + a ln 1 + x

(1)当 a=-1 时,求曲线 y=f x 在点 1 , f 1 处的切线方程;

(2)是否存在 a b ,使得曲线 y=f 1 x 关于直线 x=b 对称,若存在,求 a b 的值,若不存在,说明理由;

(3)若 f x 0 , + 存在极值,求 a 的取值范围.

来源:2023年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)
  • 更新:2024-01-20
  • 题型:解答题
  • 难度:较难

已知函数 f x = 1 x + a ln 1 + x

(1)当 a=-1 时,求曲线 y=f x 在点 1 , f 1 处的切线方程;

(2)若函数 f x 0 , + 单调递增,求 a 的取值范围.

来源:2023年全国统一高考文科数学试卷(全国乙卷)
  • 更新:2024-01-17
  • 题型:解答题
  • 难度:较难

已知等差数列 { a n } 的公差 d ( 0 , π ] ,数列 { b n } 满足 b n = sin ( a n ) ,集合 S = { x | x = b n , n N * }

(1)若 a 1 = 0 , d = 2 π 3 ,求集合 S

(2)若 a 1 = π 2 ,求 d 使得集合 S 恰好有两个元素;

(3)若集合 S 恰好有三个元素: b n + T = b n ,T是不超过7的正整数,求T的所有可能的值.

来源:2019年全国统一高考数学试卷(春季高考上海卷)
  • 更新:2021-09-30
  • 题型:解答题
  • 难度:较难

设函数 f ( x ) = e x cos x , g ( x ) f x 的导函数.

(Ⅰ)求 f x 的单调区间;

(Ⅱ)当 x π 4 , π 2 时,证明 f ( x ) + g ( x ) π 2 - x 0

(Ⅲ)设 x n 为函数 u ( x ) = f ( x ) - 1    在区间 2 + π 4 , 2 + π 2 内的零点,其中 n N ,证明 2 + π 2 - x n < e - 2 sin x 0 - cos x 0

来源:2019年全国统一高考数学试卷(天津卷)
  • 更新:2021-10-08
  • 题型:填空题
  • 难度:较难

已知函数 f ( x ) = 1 4 x 3 - x 2 + x

(Ⅰ)求曲线 y = f ( x ) 的斜率为1的切线方程;

(Ⅱ)当 x [ - 2 , 4 ] 时,求证: x - 6 f ( x ) x

(Ⅲ)设 F ( x ) = | f ( x ) - ( x + a ) | ( a R ) ,记 F ( x ) 在区间 [ - 2 , 4 ] 上的最大值为 M a ,当 M a 最小时,求 a 的值.

来源:2019年全国统一高考数学试卷(北京卷)
  • 更新:2021-10-08
  • 题型:解答题
  • 难度:较难

在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a b 0 的离心率为 2 2 ,焦距为2.

(Ⅰ)求椭圆E的方程.

(Ⅱ)如图,该直线 l y = k 1 x 3 2 交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上的一点,直线OC的斜率为 k 2 , 且看 k 1 k 2 = 2 4 ,M是线段OC延长线上一点,且 | MC | | AB | = 2 3 ,⊙M的半径为 | MC | ,OS,OT是⊙M的两条切线,切点分别为S,T,求 SOT 的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.

image.png

来源:2017年全国统一高考数学试卷(山东卷)
  • 更新:2022-08-02
  • 题型:解答题
  • 难度:较难

[选修4-5:不等式选讲]已知函数 f ( x ) = │x + 1 │–│x– 2 .

(1)求不等式 f ( x ) 1 的解集;

(2)若不等式 f ( x ) x 2 –x + m 的解集非空,求实数 m的取值范围.

来源:2017年全国统一高考文科数学试卷(全国Ⅲ卷)
  • 更新:2021-09-29
  • 题型:解答题
  • 难度:较难

已知函数 f ( x ) = lnx + a x 2 + ( 2 a + 1 ) x.

(1)讨论 f ( x ) 的单调性;

(2)当 a 0 时,证明 f ( x ) - 3 4 a - 2

来源:2017年全国统一高考文科数学试卷(全国Ⅲ卷)
  • 更新:2021-09-29
  • 题型:解答题
  • 难度:较难

在平面直角坐标系xOy中,设点集 A n = { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , , ( n , 0 ) } B n = { ( 0 , 1 ) , ( n , 1 ) } , C n = { ( 0 , 2 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 2 ) , , ( n , 2 ) } , n N * .   

M n = A n B n C n .从集合 M n中任取两个不同的点,用随机变量 X表示它们之间的距离.

(1)当 n=1时,求 X的概率分布;    

(2)对给定的正整数 nn≥3),求概率 PXn)(用 n表示).

来源:2019年全国统一高考数学试卷(江苏卷)
  • 更新:2021-09-29
  • 题型:解答题
  • 难度:较难

设定义在R上的函数f(x)满足:对于任意的x 1、x 2∈R,当x 1<x 2时,都有f(x 1)≤f(x 2).

(1)若f(x)=ax 3+1,求a的取值范围;

(2)若f(x)是周期函数,证明:f(x)是常值函数;

(3)设f(x)恒大于零,g(x)是定义在R上的、恒大于零的周期函数,M是g(x)的最大值.函数h(x)=f(x)g(x).证明:"h(x)是周期函数"的充要条件是"f(x)是常值函数".

来源:2017年全国统一高考数学试卷(上海卷)
  • 更新:2021-09-29
  • 题型:解答题
  • 难度:较难

已知一个口袋有 m 个白球, n 个黑球 m n N *    n 2 ,这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…, m + n 的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉 k = 1 2 3 m + n

image.png

(Ⅰ)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率 p

(Ⅱ)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E X X 的数学期望,证明 E X )< n ( m + n ) ( n - 1 )

来源:2017年全国统一高考数学试卷(江苏卷)
  • 更新:2022-08-02
  • 题型:解答题
  • 难度:较难

已知函数 f x = x 3 + a x 2 + bx + 1 a 0 b R 有极值,且导函数 f ' x 的极值点是 f x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;

(Ⅱ)证明: b 2 3 a

(Ⅲ)若 f x f ' x 这两个函数的所有极值之和不小于 7 2 ,求a的取值范围.

来源:2017年全国统一高考数学试卷(江苏卷)
  • 更新:2021-09-28
  • 题型:解答题
  • 难度:较难

[选修4-5:不等式选讲]

已知函数 f x = x 2 + ax + 4 g ( x ) = │x + 1 + │x– 1 .

(1)当 a = 1 时,求不等式 f x g x 的解集;

(2)若不等式 f x g x 的解集包含 [ 1 1 ] ,求 a的取值范围.

来源:2017年全国统一高考理科数学试卷(全国Ⅰ卷)
  • 更新:2021-09-28
  • 题型:解答题
  • 难度:较难

已知函数 f x ) = a e 2 x + ( a 2 ) e x x .

(1)讨论 f ( x ) 的单调性;

(2)若 f ( x ) 有两个零点,求 a的取值范围.

来源:2017年全国统一高考理科数学试卷(全国Ⅰ卷)
  • 更新:2021-09-28
  • 题型:解答题
  • 难度:较难

高中数学试题