在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的离心率为 2 2 ,焦距为2.
(Ⅰ)求椭圆E的方程.
(Ⅱ)如图,该直线 l : y = k 1 x ﹣ 3 2 交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上的一点,直线OC的斜率为 k 2 , 且看 k 1 k 2 = 2 4 ,M是线段OC延长线上一点,且 | MC | : | AB | = 2 : 3 ,⊙M的半径为 | MC | ,OS,OT是⊙M的两条切线,切点分别为S,T,求 ∠ SOT 的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.
(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为,过点作一条直线与抛物线交于,两点.(Ⅰ)求以点为圆心,且与直线相切的圆的方程;(Ⅱ)从中取出三个量,使其构成等比数列,并予以证明.
(本小题满分12分)“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动,活动规定:被邀请者要么在24小时内接受挑战,要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战),并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战,则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容,然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的,且互不影响.(Ⅰ)若某参与者接受挑战后,对其他3个人发出邀请,则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少?(Ⅱ)为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关,某调查机构进行了随机抽样调查,调查得到如下列联表:
根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”?附:
(本小题满分12分) 已知数列是递增的等差数列,,是方程的两根.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和.
(本小题满分14分)已知函数,其中是自然对数的底数.(Ⅰ)判断函数在内的零点的个数,并说明理由;(Ⅱ),使得不等式成立,试求实数的取值范围;(Ⅲ)若,求证:.
(本小题满分12分)已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点为.(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)若点为抛物线的准线上的任意一点,过点作抛物线的切线与,切点分别为,求证:直线恒过某一定点;(Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论,反思其解题过程,再对命题(Ⅱ)进行变式和推广.请写出一个你发现的真命题,不要求证明(说明:本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分).