高中数学椭圆试题

在椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ 上任意一点 $P$ ， $Q$ 与 $P$ 关于 $x$ 轴对称，若有 $\overrightarrow{F_{1}P}·\overrightarrow{F_{2}P}\le 1$ ，则 $\overrightarrow{F_{1}P}$ 与 $\overrightarrow{F_{2}Q}$ 的夹角范围为________．

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左焦点为 $F$，上顶点为 $B$．已知椭圆的短轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点 $P$在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 $M$为直线 $\mathit{PB}$与 $x$轴的交点，点 $N$在 $y$轴的负半轴上．若 $\left|\mathit{ON}\right|=\left|\mathit{OF}\right|\mathit{}$（ $O$为原点），且 $\mathit{OP}\perp \mathit{MN}$，求直线 $\mathit{PB}$的斜率．

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $(1,0)$ ，且经过点 $A(0,1)$ ．

（Ⅰ）求椭圆 C的方程；

（Ⅱ）设 O为原点，直线 $l:y=\mathit{kx}+t(t\ne \pm 1)$ 与椭圆 C交于两个不同点 P， Q，直线 $\mathit{AP}$ 与 x轴交于点 M，直线 $\mathit{AQ}$ 与 x轴交于点 N，若 $\left|\mathit{OM}\right|·\left|\mathit{ON}\right|=2$ ，求证：直线 l经过定点．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，椭圆 $E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆E的方程．

（Ⅱ）如图，该直线 $l：y=k_{1}x﹣\frac{\sqrt{3}}{2}$ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为 $k_2$ ， 且看 $k_1{k}_2=\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，M是线段OC延长线上一点，且 $\left|\mathit{MC}\right|：\left|\mathit{AB}\right|=2：3$ ，⊙M的半径为 $\left|\mathit{MC}\right|$ ，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求 $\angle \mathit{SOT}$ 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

已知椭圆 C： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ， $（a>b>0）$ 的左、右顶点分别为 $A_1$ ， $A_2$ ，且以线 $A_1{A}_2$ 为直径的圆与直线 $\mathit{bx}-\mathit{ay}+2\mathit{ab}=0$ 相切，则 C的离心率为（ ）

A．

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

B．

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

C．

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

D．

$\frac{1}{3}$

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦点为F ₁（-1、0），F ₂（1，0）．过F ₂作x轴的垂线l ，在x轴的上方，l与圆F ₂: ${(x-1)}^2+y^2=4a^2$ 交于点A ，与椭圆C交于点D.连结AF ₁并延长交圆F ₂于点B ，连结BF ₂交椭圆C于点E ，连结DF ₁．已知DF ₁= $\frac{5}{2}$ ．

（1）求椭圆 C的标准方程；

（2）求点 E的坐标．