已知椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 的右焦点为 ( 1 , 0 ) ,且经过点 A ( 0 , 1 ) .
(Ⅰ)求椭圆 C的方程;
(Ⅱ)设 O为原点,直线 l : y = kx + t ( t ≠ ± 1 ) 与椭圆 C交于两个不同点 P, Q,直线 AP 与 x轴交于点 M,直线 AQ 与 x轴交于点 N,若 | OM | · | ON | = 2 ,求证:直线 l经过定点.
(本小题满分14分)已知椭圆的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线的顶点,直线与椭圆交于,两点,且点的坐标为,点是椭圆上异于点,的任意一点,点满足,,且,,三点不共线. (1)求椭圆的方程; (2)求点的轨迹方程; (3)求面积的最大值及此时点的坐标.
(本小题满分14分)已知数列的前项和为,且满足, , N. (1)求的值; (2)求数列的通项公式; (3)是否存在正整数,使,, 成等比数列? 若存在,求的值; 若不存在,请说明理由.
(本小题满分14分)如图,在边长为的菱形中,,点,分别是边,的中点,.沿将△翻折到△,连接,得到如图的五棱锥,且. (1)求证:平面; (2)求四棱锥的体积.
(本小题满分12分)从广州某高校男生中随机抽取名学生,测得他们的身高(单位: cm)情况如表1:
表1 (1)求的值; (2)按表1的身高组别进行分层抽样, 从这名学生中抽取名担任广州国际马拉松志愿者, 再从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担任迎宾工作, 求这名担任迎宾工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm的概率.
(本小题满分12分)已知函数. (1)求函数的最小正周期; (2)若是第一象限角,且,求的值.