高中数学试题

设 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$是两个等差数列，记 $c_n=\mathit{max}\{b_1﹣a_{1}n，b_2﹣a_{2}n，\dots ，b_n﹣a_{n}n\}（n=1，2，3，\dots ）$，其中 $\mathit{max}\{x_1\mathit{ }，x_2，\dots ，x_s\}$表示 $x_1\mathit{ }，x_2，$， …， $x_s$这s个数中最大的数．

（1）若 $a_n=n$， $b_n=2n﹣1$，求 $c_1\mathit{ }$， $c_2$， $c_3$的值，并证明{c_n}是等差数列；

（2）证明：或者对任意正数 $M$，存在正整数 $m$，当 $n\ge m$时， $\frac{c_n}{n}＞M$；或者存在正整数 $m$，使得 $c_m$ ， $c_{m+1}$ ， $c_{m+2}\mathit{ }$， …是等差数列．

给定无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ ，若无穷数列{b _n}满足：对任意 $n\in N*$ ，都有 $|b_n-a_n|\le 1$ ，则称 $\left\{b_n\right\}与\left\{a_n\right\}$ "接近"。    

（1）设 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为1，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列， $b_n=a_{n+1}+1$ ， $n\in N*$ ，判断数列 $\left\{b_n\right\}$ 是否与 $\left\{a_n\right\}$ 接近，并说明理由；    

（2）设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前四项为： $a_1$ =1， $a_2$ =2， $a_3$ =4， $a_4$ =8， $\left\{b_n\right\}$ 是一个与 $\left\{a_n\right\}$ 接近的数列，记集合M={x|x=b _i， i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；    

（3）已知 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为d的等差数列，若存在数列{b _n}满足：{b _n}与 $\left\{a_n\right\}$ 接近，且在b₂-b₁，b₃-b₂，…b ₂₀₁-b ₂₀₀中至少有100个为正数，求d的取值范围。   

对于数列 $\left\{u_n\right\}$ 若存在常数M＞0,对任意的 $n\in N^{*}$ ，恒有 $\left|u_{n+1}-u_n\right|+\left|u_n-u_{n-1}\right|+...+\left|u_2-u_1\right|\le M$ 则称数列 $\left\{u_n\right\}$ 为B-数列

（1）首项为1，公比为 $q(\left|q\right|<1)$ 的等比数列是否为B-数列？请说明理由;

请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题

判断所给命题的真假，并证明你的结论；

（2）设 $S_n$ 是数列 $\left\{x_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，给出下列两组论断；

A组：①数列 $\left\{x_n\right\}$ 是B-数列      ②数列 $\left\{x_n\right\}$ 不是B-数列

B组：③数列 $\left\{S_n\right\}$ 是B-数列      ④数列 $\left\{S_n\right\}$ 不是B-数列

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。

判断所给命题的真假，并证明你的结论；

（3）若数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 都是 $B-$ 数列，证明：数列 $\left\{a_n{b}_n\right\}$ 也是 $B-$ 数列。

已知函数 $f\left(x\right)=|x-\mathrm{}\frac{1}{2}|+|x+\frac{1}{2}|$ ， M为不等式 $f\left(x\right)＜2$ 的解集.

（1）求 $M$ ；

（2）证明：当 $a,b\in M$ 时， $\mid a+b\mid ＜\mid 1+\mathit{ab}\mid$ 。

设函数 $f\left(x\right)={（x-1）}^3-\mathit{ax}-b,x\in R$，其中 $a,b\in R$。

（1）求 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）若 $f\left(x\right)$存在极点 $x_0$， 且 $f\left(x_1\right)=f\left(x_0\right)$，其中 $x_1\ne x_0\mathit{ }$， 求证： $x_1+2_{x0}=3$；

（3）设 $a＞0$,函数 $g\left(x\right)=\mid f\left(x\right)\mid$,求证： $g\left(x\right)$在区间 $[0,2]$上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$.

已知 $\left\{a_n\right\}$是各项均为整数得等差数列，公差为d，对任意的 $n\in N^{*}$， $b_n$是 $a_n$和 $a_{n+1}$得等比中项。

（1）设 $c_n={b_{n+1}}^2-{b_n}^2$， $n\in N^{*}$，求证：数列 $\left\{c_n\right\}$是等差数列；

（2）设 $a_1=d$， $T_n=\underset{k=1}{\overset{2n}{\sum }}{(-1)}^k{b_k}^2$， $n\in N^{*}$，求证： $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{Ti}<\frac{1}{{2d}^2}$

已知，椭圆C以过点， $A\left(1,\frac{3}{2}\right)$ ，两个焦点为 $\left(-1，0\right)$ $\left(1,0\right)$ 。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

（1）已知矩阵 $M\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& -1\end{array}\right)$所对应的线性变换把点 $A\left(x,y\right)$变成点 $A^{\text{'}}\left(13,5\right)$，试求M的逆矩阵及点A的坐标

（2）已知直线 $l:3x+4y-12=0$与 $圆C:\left\{\begin{array}{c}x=-1+2\mathit{cos}\theta \\ y=2+2\mathit{sin}\theta \end{array}\right.\left(\theta \mathit{为参数}\right)$试判断他们的公共点个数

（3）解不等式 $\left|2x-1\right|<\left|x\right|+1$.

已知曲线 $C_n:x^2-2\mathit{nx}+y^2=0(n=1,2,\dots )$．从点 $P(-1,0)$向曲线 $C_n$引斜率为 $k_n(k_n>0)$的切线 $l_n$，切点为 $P_n(x_n,y_n)$．

（１）求数列 $\left\{x_n\right\}与\left\{y_n\right\}$的通项公式；

（２）证明： $x_1\cdot x_3\cdot x_5\cdot \cdots \cdot x_{2n-1}<\sqrt{\frac{1-x_n}{1+x_n}}<\sqrt{2}\mathit{sin}\frac{x_n}{y_n}$  

已知抛物线 $C：x^2=2\mathit{py}(p>0)$ 上一点 $A(m,4)$ 到其焦点的距离为 $\frac{17}{4}$ .

（Ⅰ）求 p于 m的值；

（Ⅱ）设抛物线C上一点 p的横坐标为 t（ t>0）,过 p的直线交C于另一点 Q，交 x轴于 M点，过点 Q作 PQ的垂线交 C于另一点 N.若 MN是 C的切线，求 t的最小值;

已知数集 $A=\{a_1,a_2,\cdots a_n\}(1\le a_1<a_2<\cdots a_n,n\ge 2)$ 具有性质 $P$ ；对任意的 $i,j(1\le i\le j\le n)$ ， $a_i{a}_j$ 与 $\frac{a_j}{a_i}$ 两数中至少有一个属于 $A$ 。

（Ⅰ）分别判断数集 $\{1,3,4\}$ 与 $\{1,2,3,6\}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

（Ⅱ）证明： $a_1=1$ ，且 $\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{a_1^{-1}+a_2^{-1}+\cdots +a_n^{-1}}=a_n;$

（Ⅲ）证明：当 $n=5$ 时， $a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5$ 成等比数列。

设各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2,a_n=a_{n+1}^{\frac{3}{2}}{a}_{n+2}(n\in N*)$ .

（Ⅰ）若 $a_2=\frac{1}{4},$ 求 $a_3$ , $a_4$ ,并猜想 $a_{2008}$ 的值（不需证明）;

（Ⅱ）若 $2\sqrt{2}\le a_1{a}_2\dots \dots a_n\prec 4$ 对 $n\ge 2$ 恒成立，求 $a_2$ 的值.

已知函数 $f\left(x\right)={\ln }^2(1+x)-\frac{x^2}{1+x}$ .

( I ) 求函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间;

( II ) 若不等式 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{a+a}\le e$ 对任意的 $n\in {\mathrm{N}}^{*}$ 都成立（其中 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底数）.求 $\alpha$ 的最大值.

(1) 求 $7{\mathrm{C}}_6^3-4{\mathrm{C}}_7^4$ 的值;

(2) 设 $m,n\in {\mathbf{N}}^{*},n⩾m$, 求证:

$(m+1)C_m^m+(m+2)C_{m+1}^m+(m+3)C_{m+2}^m+\cdots +n{C}_{n-1}^m+(n+1)C_n^m=(m+1)C_{n+2}^{m+2}$

如图, 在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中, 已知直线 $l:x-y-2=0$, 抛物线 $C:{\mathrm{y}}^2=2\mathit{px}(p>0)$

(1) 若直线 $l$过抛物线 $C$ 的焦点, 求抛物线 $C$ 的方程;

(2) 已知抛物线 $C$ 上存在关于直线 $l$对称的相异两点 $P$ 和 $Q$.

①求证：线段 $\mathit{PQ}$ 的中点坐标为 $(2-p,-p)$;

②求 $p$ 的取值范围.