设函数 $f\left(x\right)={（x-1）}^3-\mathit{ax}-b,x\in R$，其中 $a,b\in R$。

（1）求 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）若 $f\left(x\right)$存在极点 $x_0$， 且 $f\left(x_1\right)=f\left(x_0\right)$，其中 $x_1\ne x_0\mathit{ }$， 求证： $x_1+2_{x0}=3$；

（3）设 $a＞0$,函数 $g\left(x\right)=\mid f\left(x\right)\mid$,求证： $g\left(x\right)$在区间 $[0,2]$上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$.