已知函数 $f\left(x\right)={\ln }^2(1+x)-\frac{x^2}{1+x}$ .

( I ) 求函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间;

( II ) 若不等式 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{a+a}\le e$ 对任意的 $n\in {\mathrm{N}}^{*}$ 都成立（其中 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底数）.求 $\alpha$ 的最大值.