初中数学解答题

如图，点 $M$ ， $N$ 分别在正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}$ 上，且 $\angle \mathit{MAN}=45°$ ，把 $△\mathit{ADN}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90°$ 得到 $△\mathit{ABE}$ ．

（ 1 ）求证： $△\mathit{AEM}$ ≌ $△\mathit{ANM}$ ．

（ 2 ）若 $\mathit{BM}=3$ ， $\mathit{DN}=2$ ，求正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长．

如图，圆 $O$ 是 $△\mathit{ABC}$ 的外接圆，其切线 $\mathit{AE}$ 与直径 $\mathit{BD}$ 的延长线相交于点 $E$ ，且 $\mathit{AE}=\mathit{AB}$ ．

（ 1 ）求 $\angle \mathit{ACB}$ 的度数；

（ 2 ）若 $\mathit{DE}=2$ ，求圆 $O$ 的半径．

通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，下表是一个函数的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：

（ 1 ）当 $x=$        时， $y=1.5$ ；

（ 2 ）根据表中数值描点 $(x,y)$ ，并画出函数图象；

（ 3 ）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：                                 ．

习近平总书记于 2019 年 8 月在兰州考察时说"黄河之滨也很美"，兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河唯一穿城而过的省会城市，被称为"黄河之都"，近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到极大改善，"兰州蓝"成为兰州市民引以为豪的城市名片，下图是根据兰州市环境保护局公布的 2013-2019 年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．

请结合统计图解答下列问题：

（ 1 ） 2019 年比 2013 年的全年空气质量优良天数增加了 天；

（ 2 ）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是         天；

（ 3 ）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；

（ 4 ）《兰州市"十三五"质量发展规划》中指出： 2020 年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达 80% 以上，试计算 2020 年（共 366 天）兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标．

2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一，截至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙月牙泉景区：E：张掖七彩舟霞景区，张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩．

（1）张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？

（2）若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从 $A$， $B$， $C$， $D$四个景区中任选两个景区去旅游，求选 $A$， $D$两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．

图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝 -- 铜奔马，又称 " 马踏飞燕 " ，于 1969 年 10 月出土于武威市的雷台汉墓， 1983 年 10 月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有 " 马踏飞燕 " 雕塑，某学习小组把测量本城市广场的 " 马踏飞燕 " 雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：

课题	测量 " 马踏飞燕 " 雕塑最高点离地面的高度
测量示意图			如图，雕塑的最高点 $B$ 到地面的高度为 $\mathit{BA}$ ，在测点 $C$ 用仪器测得点 $B$ 的仰角为 $\alpha$ ，前进一段距离到达测点 $E$ ，再用该仪器测得点 $B$ 的仰角为 $\beta$ ，且点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 均在同一竖直平面内，点 $A$ ， $C$ ， $E$ 在同一条直线上．
测量数据	$\alpha$ 的度数	$\beta$ 的度数	$\mathit{CE}$ 的长度	仪器 $\mathit{CD}$ （ $EF$ ）的高度
	${31}^{\circ }$	${42}^{\circ }$	5 米	$1.5$ 米

请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出 " 马踏飞燕 " 雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin {31}^{\circ }\approx 0.52$ ， $\cos {31}^{\circ }\approx 0.86$ ， $\tan {31}^{\circ }\approx 0.60$ ， $\sin {42}^{\circ }\approx 0.67$ ， $\cos {42}^{\circ }\approx 0.74$ ， $\tan {42}^{\circ }\approx 0.90$ ）

如图，在 $△\mathit{ABC}$ 中， $D$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点，且 $\mathit{BD}=\mathit{BA}$ ．

（ 1 ）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）

①作 $\angle \mathit{ABC}$ 的角平分线交 $\mathit{AD}$ 于点 $E$ ；

②作线段 $\mathit{DC}$ 的垂直平分线交 $\mathit{DC}$ 于点 $F$ ．

（ 2 ）连接 $\mathit{EF}$ ，直接写出线段 $\mathit{EF}$ 和 $\mathit{AC}$ 的数量关系及位置关系．

解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}3x-5<x+1\\ 2(2x-1)⩾3x-4\end{array}\right.$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

（算一算）

如图 ① ，点 A 、 B 、 C 在数轴上， B 为 AC 的中点，点 A 表示 $﹣3$ ，点 B 表示 1 ，则点 C 表示的数为 　 　 ， AC 长等于 　 　 ；

（找一找）

如图②，点 M 、 N 、 P 、 Q 中的一点是数轴的原点，点 A 、 B 分别表示实数 $\frac{\sqrt{2}}{2}﹣1$ 、 $\frac{\sqrt{2}}{2}+1$ ， Q 是 AB 的中点，则点 　 是这个数轴的原点；

（画一画）

如图 ③ ，点 A 、 B 分别表示实数 $c﹣n$ 、 $c+n$ ，在这个数轴上作出表示实数 n 的点 E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（用一用）

学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测 a 个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有 m 个学生，每分钟又有 b 个学生到达校门口．如果开放 3 个通道，那么用 4 分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放 4 个通道，那么用 2 分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下， a 、 m 、 b 会有怎样的数量关系呢？

爱思考的小华想到了数轴，如图 ④ ，他将 4 分钟内需要进校的人数 $m+4b$ 记作 $+(m+4b)$ ，用点 A 表示；将 2 分钟内由 4 个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数 $8a$ 记作 $﹣8a$ ，用点 B 表示．

① 用圆规在小华画的数轴上分别画出表示 $+（m+2b）$ 、 $﹣12a$ 的点 F 、 G ，并写出 $+(m+2b)$ 的实际意义；

② 写出 a 、 m 的数量关系： 　 　 ．

如图， $▱ABCD$ 中， $\angle ABC$ 的平分线 $BO$ 交边 $AD$ 于点 $O$ ， $OD＝4$ ，以点 $O$ 为圆心， $OD$ 长为半径作 $\odot O$ ，分别交边 $DA$ 、 $DC$ 于点 $M$ 、 $N$ ．点 $E$ 在边 $BC$ 上， $OE$ 交 $\odot O$ 于点 $G$ ， $G$ 为 $\stackrel{⏜}{\mathit{MN}}$ 的中点．

（ 1 ）求证：四边形 $ABEO$ 为菱形；

（ 2 ）已知  $\cos \angle ABC＝\frac{1}{3}$ ，连接 $AE$ ，当 $AE$ 与 $\odot O$ 相切时，求 $AB$ 的长．

如图，正比例函数 $y＝kx（k\ne 0）$ 的图象与反比例函数  $y＝﹣\frac{8}{x}$ 的图象交于点 $A(n，2)$ 和点 $B$ ．

（ 1 ） $n＝$ 　 　 ， $k＝$ 　　 ；

（ 2 ）点 $C$ 在 $y$ 轴正半轴上． $\angle ACB＝90°$ ，求点 $C$ 的坐标；

（ 3 ）点 $P（m，0）$ 在 x 轴上， $\angle APB$ 为锐角，直接写出 $m$ 的取值范围．

如图，点 E 与树 AB 的根部点 A 、建筑物 CD 的底部点 C 在一条直线上， $AC＝10m$ ．小明站在点 E 处观测树顶 B 的仰角为 $30°$ ，他从点 E 出发沿 EC 方向前进 $6m$ 到点 G 时，观测树顶 B 的仰角为 $45°$ ，此时恰好看不到建筑物 CD 的顶部 D （ H 、 B 、 D 三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面 $1.6m$ ，求建筑物 CD 的高度（结果精确到 $0.1m$ ）．（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73$ ．）

智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号" "有刚毅的含义，符号" "有愉快的含义．符号中的" "表示"阴"，" "表示"阳"，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同．

（ 1 ）所有这些三行符号共有 　 　 种；

（ 2 ）若随机画一个这样的三行符号，求"画出含有一个阴和两个阳的三行符号"的概率．

教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达 9 小时及以上的比例为 $19.4\%$ ．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级 50 名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间 t （单位：小时）进行了调查，将数据整理后绘制成下表：

平均每天的睡眠时间分组	$5\le t＜6$	$6\le t＜7$	$7\le t＜8$	$8\le t＜9$	9 小时及以上
频数	$1$	$5$	$m$	$24$	$n$

该样本中学生平均每天的睡眠时间达 9 小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了 $22\%$ ．

（ 1 ）求表格中 n 的值；

（ 2 ）该校八年级共 400 名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在 $7\le t＜8$ 这个范围内的人数是多少．

如图， $AC$ 是四边形 ABCD 的对角线， $\angle 1＝\angle B$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $AB$ 、 $BC$ 上， $BE＝CD$ ， $BF＝CA$ ，连接 $EF$ ．

（ 1 ）求证： $\angle D＝\angle 2$ ；

（ 2 ）若 $EF\parallel AC，\angle D＝78°$ ，求 $\angle BAC$ 的度数．