初中数学解答题

已知四边形ABCD中， $BC＝CD$，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．

（1）如图1，若 $DE\parallel BC$，求证：四边形BCDE是菱形；

（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．

（ⅰ）求∠CED的大小；

（ⅱ）若 $AF＝AE$，求证： $BE＝CF$．

第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有 $500$名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取 $n$名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用 $x$表示）：

A： $70\le x＜75$，B： $75\le x＜80$，C： $80\le x＜85$，

D： $85\le x＜90$，E： $90\le x＜95$，F： $95\le x\le 100$，

并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：

已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：

$86，85，87，86，85，89，88$．

请根据以上信息，完成下列问题：

（1） $n$＝＿＿＿＿， $a$＝＿＿＿＿；

（2）八年级测试成绩的中位数是＿＿＿＿；

（3）若测试成绩不低于 $90$分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．

如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东 $37°$方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西 $53°$方向上．求A，B两点间的距离．

参考数据： $\sin 37°\approx 0.60，\cos 37°\approx 0.80，\tan 37°\approx 0.75$．

已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．

（1）如图1，若 $CO\perp AB$， $\angle D＝30°，OA＝1$，求AD的长；

（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且 $\angle ACD＝\angle ACE$．求证： $CE\perp AB$．

观察以下等式：

第1个等式： $（2\times 1+1{）}^2＝（2\times 2+1{）}^2﹣（2\times 2{）}^2$，

第2个等式： $（2\times 2+1{）}^2＝（3\times 4+1{）}^2﹣（3\times 4{）}^2$，

第3个等式： $（2\times 3+1{）}^2＝（4\times 6+1{）}^2﹣（4\times 6{）}^2$，

第4个等式： $（2\times 4+1{）}^2＝（5\times 8+1{）}^2﹣（5\times 8{）}^2$，

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：＿＿＿＿＿＿＿＿；

（2）写出你猜想的第 $n$个等式（用含 $n$的式子表示），并证明．

某地区2020年进出口总额为 $520亿$元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了 $25\%$，出口额增加了 $30\%$．

注：进出口总额＝进口额+出口额．

（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含 $x，y$的代数式填表：

年份	进口额/亿元	出口额/亿元	进出口总额/亿元
2020	$x$	$y$	$520$
2021	$1.25x$	$1.3y$

（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了 $140亿$元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？

如图，平行四边形ABCD中， $AB＝5，BC＝10$，BC边上的高 $AM＝4$，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．

（1）求证： $△ABM\backsim △EBF$；

（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；

（3）设 $BE＝x$，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东 $15°$方向上，他沿西北方向前进 $100\sqrt{3}$米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西 $60°$方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）

（1）求点D与点A的距离；

（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）

如图，一次函数 $y_1＝kx+b$的图象与反比例函数 $y_2=\frac{6}{x}$的图象交于点 $A（1，m）$和点 $B（n，﹣2）$．

（1）求一次函数的表达式；

（2）结合图象，写出当 $x＞0$时，满足 $y_1＞y_2$的 $x$的取值范围；

（3）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点．

如图，在△ABC中 $（AB＜BC）$，过点C作 $CD\parallel AB$，在CD上截取 $CD＝CB$，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．

（1）求证： $△ABC≌△ECD$；

（2）若 $\angle A＝90°$， $AB＝3$， $BD＝2\sqrt{5}$，求△BCD的面积．

北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多 $20$元，购买甲、乙两种型号各 $10$个共需 $1760$元．

（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？

（2）某团队计划用不超过 $4500$元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共 $50$个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？

某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；

（2）若全校共有学生 $3600$人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；

（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．

先化简，再求值． $(1-\frac{1}{a+1})÷\frac{a^2}{a^2-1}$，其中 $a＝﹣3$．

如图，抛物线 $y＝a{x}^2+bx+c$交x轴于 $A（﹣1，0）$，B两点，交y轴于点 $C（0，3）$，顶点D的横坐标为 $1$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使 $\angle APB+\angle ACB＝180°$，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作 $MF\perp l$，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，AB为 $\odot O$的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点，过点D作 $\odot O$的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．

（1）求证： $BC\parallel PF$；

（2）若⊙O的半径为 $\sqrt{5}$， $DE＝1$，求AE的长度；

（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．