初中数学解答题

如图， $AB$是 $\odot O$的直径， $CD$是 $\odot O$的弦， $AB\perp CD$，垂足是点 $H$，过点 $C$作直线分别与 $AB，AD$的延长线交于点 $E，F$，且 $\angle ECD＝2\angle BAD$．

（1）求证： $CF$是 $\odot O$的切线；

（2）如果 $AB＝10，CD＝6$，

①求 $AE$的长；

②求 $△AEF$的面积．

习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费 $4000$元集中采购了 $A$种树苗 $500$株， $B$种树苗 $400$株，已知 $B$种树苗单价是 $A$种树苗单价的 $1.25倍$．

（1）求 $A、B$两种树苗的单价分别是多少元？

（2）红旗村决定再购买同样的树苗 $100$株用于补充栽种，其中 $A$种树苗不多于 $25$株，在单价不变，总费用不超过 $480$元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？

如图，在菱形 $ABCD$中， $\angle ABC＝60°$， $AB＝2\sqrt{3}cm$，过点 $D$作 $BC$的垂线，交 $BC$的延长线于点 $H$．点 $F$从点 $B$出发沿 $BD$方向以 $2cm/s$向点 $D$匀速运动，同时，点 $E$从点 $H$出发沿 $HD$方向以 $1cm/s$向点 $D$匀速运动．设点 $E，F$的运动时间为 $t$（单位： $s$），且 $0＜t＜3$，过 $F$作 $FG\perp BC$于点 $G$，连结 $EF$．

（1）求证：四边形 $EFGH$是矩形；

（2）连结 $FC，EC$，点 $F，E$在运动过程中， $△BFC$与 $△DCE$是否能够全等？若能，求出此时 $t$的值；若不能，请说明理由．

如图，一次函数 $y=-\frac{3}{2}x+1$与反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}$的图象在第二象限交于点 $A$，且点 $A$的横坐标为 $﹣2$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点 $B$的坐标是 $（﹣3，0）$，若点 $P$在 $y$轴上，且 $△AOP$的面积与 $△AOB$的面积相等，求点 $P$的坐标．

据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．

学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：

（1）设本次问卷调查共抽取了 $m$名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是 $n$度，分别写出 $m，n$的值；

（2）根据以上调查结果，在 $12000$名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？

（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的 $3$名男士和 $2$名女士中随机抽取 $2$人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．

计算： $\sqrt{12}+（3.14﹣\pi {）}^0﹣3\tan 60°+$ $\left|1-\sqrt{3}\right|+（﹣2{）}^{﹣2}$．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{4}（x+3）（x﹣a）$与x轴交于A， $B（4，0）$两点，点C在y轴上，且 $OC＝OB$，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当 $DE\perp x$轴，且 $AE＝1$时，求DP的长；

（3）连接BD．

①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；

②如图3，连接CE，当 $CD＝AE$时，求 $BD+CE$的最小值．

如图， $△ABC$内接于 $\odot O$， $AB，CD$是 $\odot O$的直径，E是DB延长线上一点，且 $\angle DEC＝\angle ABC$．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若 $DE＝4\sqrt{5}$， $AC＝2BC$，求线段CE的长．

如图，B，C是反比例函数 $y=\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线 $y＝x﹣1$与x轴交于点A， $CD\perp x$轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝3．

（1）求此反比例函数的表达式；

（2）求△BCE的面积．

受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：

【数据收集】

7 8 6 5 9 10 4 6 7 5 11 12 8 7 6

4 6 3 6 8 9 10 10 13 6 7 8 3 5 10

【数据整理】

将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明： $A.3\le t＜5,B.5\le t＜7,C.7\le t＜9,D.9\le t＜11,E.11\le t\le 13$，其中t表示锻炼时间）；

【数据分析】

统计量	平均数	众数	中位数
锻炼时间（h）	7.3	m	7

请根据以上信息解答下列问题：

（1）填空：m＝　 　；

（2）补全频数分布直方图；

（3）如果学校将管理目标确定为每周不少于7h，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．

第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京﹣张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A．云顶滑雪公园、B．国家跳台滑雪中心、C．国家越野滑雪中心、D．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．

（1）小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？

（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．

灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：

方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上， $DF\parallel EG,CG\perp AF,FG＝DE$）．

数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离 $DE＝1.5m,\angle CAF＝26.6°,\angle CBF＝35°$．

问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．

参考数据： $\sin 26.6°\approx 0.45,\cos 26.6°\approx 0.89,\tan 26.6°\approx 0.50,\sin 35°\approx 0.57,\cos 35°\approx 0.82,\tan 35°\approx 0.70$．

根据上述方案及数据，请你完成求解过程．

中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：

原文	释义
甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线．	如图2，∠ABC为直角， 以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E； 以点D为圆心，以BD长为半径画弧与 $\stackrel{̂}{\mathit{DE}}$交于点F； 再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与 $\stackrel{̂}{\mathit{DE}}$交于点G； 作射线BF，BG．

（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）根据（1）完成的图，直接写出 $\angle DBG,\angle GBF,\angle FBE$的大小关系．

已知 $T=（a+3b{）}^2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a^2$．

（1）化简 $T$；

（2）若关于 $x$的方程 $x^2+2ax﹣ab+1＝0$有两个相等的实数根，求 $T$的值．

某燃气公司计划在地下修建一个容积为 $V$（ $V$为定值，单位： $m^3$）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积 $S$（单位： $m^2$）与其深度 $d$（单位： $m$）是反比例函数关系，它的图象如图所示．

（1）求储存室的容积V的值；

（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足 $16\le d\le 25$，求储存室的底面积S的取值范围．