初中数学解答题

如图，一次函数 $y＝k_{1}x+b$与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$在第一象限交于 $M（2，8）$、N两点，NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为 $38$．

（1）求反比例函数及一次函数的解析式；

（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和△PMN面积的最小值．

某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：

水果品种	梨子	菠萝	苹果	车厘子
批发价格（元/kg）	4	5	6	40
零售价格（元/kg）	5	6	8	50

请解答下列问题：

（1）第一天，该经营户用 $1700$元批发了菠萝和苹果共 $300kg$，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？

（2）第二天，该经营户依然用 $1700$元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于 $88kg$，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？

目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题．某市在实施居民用水定额管理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干个家庭去年的月均用水量数据（单位：t），整理出了频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：

月均用水量（t）	$2\le x＜3.5$	$3.5\le x＜5$	$5\le x＜6.5$	$6.5\le x＜8$	$8\le x＜9.5$
频数	$7$			$6$
对应的扇形区域	A	B	C	D	E

根据以上信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图，并求出扇形图中扇形E对应的圆心角的度数；

（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使该市60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？并说明理由．

（1）计算： $2\tan 60°+\left|\sqrt{3}-2\right|+$ ${\left(\frac{1}{2022}\right)}^{﹣1}$ $-\frac{\sqrt{12}}{2}$；

（2）先化简，再求值： $\left(\frac{x-y}{x}-\frac{x-3y}{x-y}\right)$ $÷\frac{x+y}{x-y}$，其中 $x＝1，y＝100$．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AC}>\mathit{BC}$ ， $D$ 是 $\mathit{AB}$ 的中点． $E$ 为直线 $\mathit{AC}$ 上一动点，连接 $\mathit{DE}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DF}\perp \mathit{DE}$ ，交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{EF}$ ．

（ 1 ）如图 1 ，当 $E$ 是线段 $\mathit{AC}$ 的中点时，设 $\mathit{AE}=a$ ， $\mathit{BF}=b$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长（用含 $a,b$ 的式子表示）；

（ 2 ）当点 $E$ 在线段 $\mathit{CA}$ 的延长线上时，依题意补全图 2 ，用等式表示线段 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{EF}$ ， $\mathit{BF}$ 之间的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$为抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$上任意两点，其中 $x_1<x_2$．

（1）若抛物线的对称轴为 $x=1$，当 $x_1,x_2$为何值时， $y_1=y_2=c;$

（2）设抛物线的对称轴为 $x=t$．若对于 $x_1+x_2>3$，都有 $y_1<y_2$，求 $t$的取值范围．

小云统计了自己所住小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：

$a$ ．小云所住小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量统计图：

$b$ ．小云所住小区 5 月 1 日至 30 日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：

（ 1 ）该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为         （结果取整数）

（ 2 ）已知该小区 4 月的厨余垃圾分出量的平均数为 $60$ ，则该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为 4 月的        倍（结果保留小数点后一位）；

（ 3 ）记该小区 5 月 1 日至 10 日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_1^2,$ 5 月 11 日至 20 日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_2^2$ ， 5 月 21 日至 30 日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_3^2$ ．直接写出 $s_1^2,s_2^2,s_3^2$ 的大小关系．

小云在学习过程中遇到一个函数 $y=\frac{1}{6}\left|x\right|(x^2-x+1)(x\ge -2)$ ．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

（ 1 ）当 $-2\le x<0$ 时，对于函数 $y_1=\left|x\right|$ ，即 $y_1=-x$ ，当 $-2\le x<0$ 时， $y_1$ 随 $x$ 的增大而       ，且 $y_1>0$ ；对于函数 $y_2=x^2-x+1$ ，当 $-2\le x<0$ 时， $y_2$ 随 $x$ 的增大而       ，且 $y_2>0$ ；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 $y$ ，当 $-2\le x<0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而         ．

（ 2 ）当 $x\ge 0$ 时，对于函数 $y$ ，当 $x\ge 0$ 时， $y$ 与 $x$ 的几组对应值如下表：

综合上表，进一步探究发现，当 $x\ge 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，画出当 $x\ge 0$ 时的函数 $y$ 的图象．

（ 3 ）过点 $(0，m)$ （ $m>0$ ）作平行于 $x$ 轴的直线 $l$ ，结合（ 1 ）（ 2 ）的分析，解决问题：若直线 $l$ 与函数 $y=\frac{1}{6}\left|x\right|(x^2-x+1)(x\ge -2)$ 的图象有两个交点，则 $m$ 的最大值是    ．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径， $C$ 为 $\mathit{BA}$ 延长线上一点， $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线， $D$ 为切点， $\mathit{OF}\perp \mathit{AD}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{CD}$ 于点 $F$ ．

（ 1 ）求证： $\angle \mathit{ADC}=\angle \mathit{AOF}$ ；

（ 2 ）若 $\sin C=\frac{1}{3}$ ， $\mathit{BD}=8$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象由函数 $y=x$ 的图象平移得到，且经过点 $(1，2)$ ．

（ 1 ）求这个一次函数的解析式；

（ 2 ）当 $x>1$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y=\mathit{mx}(m\ne 0)$ 的值大于一次函数 $y=\mathit{kx}+b$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点，点 $F,G$ 在 $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$ ， $\mathit{OG}\parallel \mathit{EF}$ ．

（1 ）求证：四边形 $\mathit{OEFG}$ 是矩形；

（ 2 ）若 $\mathit{AD}=10$ ， $\mathit{EF}=4$ ，求 $\mathit{OE}$ 和 $\mathit{BG}$ 的长．

已知：如图， $△ABC$ 为锐角三角形， $AB=BC，CD\parallel AB$ ．

求作：线段 BP ，使得点 P 在直线 CD 上，且  $\angle ABP=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}$ ．

作法：①以点 A 为圆心， AC 长为半径画圆，交直线 CD 于 C ， P 两点；②连接 BP ．线段 BP 就是所求作线段．

（ 1 ）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

（ 2 ）完成下面的证明．

证明： $\because CD\parallel AB$ ，

$\therefore \angle ABP=$         ．

$\because AB=AC$ ，

∴点 B 在⊙ A 上．

又∵ $\angle BPC= \frac{1}{2}\angle BAC$ （        ）（填推理依据）

∴ $\angle ABP= \frac{1}{2}\angle BAC$

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$ 图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 的图象交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

（ 1 ）求一次函数 $y=\mathit{kx}+b$ 与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 的解析式．

（ 2 ）求点 $C$ 坐标．

（ 3 ）平面上的点 $D$ 与点 $O$ 、 $C$ 、 $A$ 构成平行四边形，请直接写出满足条件的 $D$ 点坐标 ______ ．

某中学开展 " 阳光体育一小时 " 活动，按学校实际情况，决定开设 A ：踢毽子； B ：篮球； C ：跳绳； D ：乒乓球四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两个统计图．请结合图中的信息解答下列问题：

（1）本次共调查了 ________ 名学生；

（2）在扇形统计图中， " B " 所在扇形的圆心角是 ________ 度；

（3）将条形统计图补充完整；

（4）若该中学有 1200 名学生，喜欢篮球运动的学生约有 ________ 名．

如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板 $\mathit{ABC}$ ，若测得斜边 $\mathit{AB}$ 的两端点到桌面的距离分别为 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BE}$ ．

（ 1 ）求证： $△\mathit{ADC}≌△\mathit{CEB}$ ；

（ 2 ）若 $\mathit{DE}=10$ ， $\mathit{AD}=7$ ，求 $\mathit{BE}$ 的长．