初中数学解答题

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为平行四边形，连接 $\mathit{AC}$ ，且 $\mathit{AC}=2\mathit{AB}$ ．请用尺规完成基本作图：作出 $\angle \mathit{BAC}$ 的角平分线与 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ．连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AE}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $O$ ，猜想线段 $\mathit{BF}$ 和线段 $\mathit{DF}$ 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：

抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分） $:$

6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．

七八年级教师竞赛成绩统计表

年级	七年级	八年级
平均数	8.5	8.5
中位数	$a$	9
众数	8	$b$
优秀率	$45\%$	$55\%$

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空： $a=$ 　　， $b=$ 　　；

（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；

（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．

计算：

（1） $a(2a+3b)+{(a-b)}^2$ ；

（2） $\frac{x^2-9}{x^2+2x+1}÷(x+\frac{3-x^2}{x+1})$ ．

某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产 $A$ 产品，乙车间生产 $B$ 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知 $A$ 产品的销售单价比 $B$ 产品的销售单价高100元，1件 $A$ 产品与1件 $B$ 产品售价和为500元．

（1） $A$ 、 $B$ 两种产品的销售单价分别是多少元？

（2）随着 $5G$ 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制 $B$ 产品的生产车间．预计 $A$ 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加 $a\%$ ； $B$ 产品产量将在去年的基础上减少 $a\%$ ，但 $B$ 产品的销售单价将提高 $3a\%$ ．则今年 $A$ 、 $B$ 两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加 $\frac{29}{25}a\%$ ．求 $a$ 的值．

在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数 $y=\frac{4-x^2}{x^2+1}$ 的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；

$x$	$\dots$	$-5$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y=\frac{4-x^2}{x^2+1}$	$\dots$	$-\frac{21}{26}$	$-\frac{12}{17}$	$-\frac{1}{2}$	0	$\frac{3}{2}$	4	$\frac{3}{2}$	0				$\dots$

（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的 $\text{"}D$ 条性质；

（3）已知函数 $y=-\frac{3}{2}x+3$ 的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式 $-\frac{3}{2}x+3>\frac{4-x^2}{x^2+1}$ 的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过 $0.2)$

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， AB $>$ AD．

（1）用尺规完成以下基本作图：在 AB上截取 AE，使得 AE= AD；作∠ BCD的平分线交 AB于点 F．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，连接 DE交 CF于点 P，猜想△ CDP按角分类的类型，并证明你的结论．

"惜餐为荣，殄物为耻"，为了解落实"光盘行动"的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位： $\mathit{kg})$ ，进行整理和分析（餐厨垃圾质量用 $x$ 表示，共分为四个等级： $A$ ． $x<1$ ， $B.1⩽x<1.5$ ， $C.1.5⩽x<2$ ， $D$ ． $x⩾2)$ ，下面给出了部分信息．

七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．

八年级10个班的餐厨垃圾质量中 $B$ 等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．

七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表

年级	平均数	中位数	众数	方差	$A$ 等级所占百分比
七年级	1.3	1.1	$a$	0.26	$40\%$
八年级	1.3	$b$	1.0	0.23	$m\%$

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述表中 $a$ ， $b$ ， $m$ 的值；

（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合 $A$ 等级的班级数；

（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的"光盘行动"，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．

计算：

（1） ${(x-y)}^2+x(x+2y)$ ；

（2） $(1-\frac{a}{a+2})÷\frac{a^2-4}{a^2+4a+4}$ ．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8(a\ne 0)$ 经过点 $(-2,0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A(-4,m)$ ， $B(n,7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．

如图中 $4\times 4$ 与 $6\times 6$ 的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．

（1）选一个四边形画在图2中，使点 $P$ 为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．

（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的 $\sqrt{5}$ 倍，画在图3中．

某校将学生体质健康测试成绩分为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级，依次记为4分，3分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况，拟抽样进行统计分析．

（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：

小红："我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．"

小明："我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩．"

根据如图学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案．

如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案．

（2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数．

如图， $\mathit{BE}$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的角平分线，在 $\mathit{AB}$ 上取点 $D$ ，使 $\mathit{DB}=\mathit{DE}$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}//\mathit{BC}$ ；

（2）若 $\angle A=65°$ ， $\angle \mathit{AED}=45°$ ，求 $\angle \mathit{EBC}$ 的度数．

（1）计算： $4\times (-3)+|-8|-\sqrt{9}+{\left(\sqrt{7}\right)}^0$ ．

（2）化简： ${(a-5)}^2+\frac{1}{2}a(2a+8)$ ．

杨梅果实成熟期正值梅雨季节，雨水过量会导致杨梅树大量落果，给果农造成损失．为此，市农科所开展了用防雨布保护杨梅果实的实验研究．在某杨梅果园随机选择40棵杨梅树，其中20棵加装防雨布（甲组），另外20棵不加装防雨布（乙组）．在杨梅成熟期，统计了甲、乙两组中每一棵杨梅树的落果率（落地的杨梅颗数占树上原有杨梅颗数的百分比），绘制成统计图表（数据分组包含左端值不包含右端值）．

甲组杨梅树落果率频数分布表

落果率	组中值	频数（棵     $)$
$0⩽x<10\%$	$5\%$	12
$10\%⩽x<20\%$	$15\%$	4
$20\%⩽x<30\%$	$25\%$	2
$30\%⩽x<40\%$	$35\%$	1
$40\%⩽x<50\%$	$45\%$	1

（1）甲、乙两组分别有几棵杨梅树的落果率低于 $20\%$ ？

（2）请用落果率的中位数或平均数，评价市农科所"用防雨布保护杨梅果实"的实际效果；

（3）若该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低多少？说出你的推断依据．