初中数学解答题

先化简，再求值： $\left(\frac{\mathrm{a}}{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}-\frac{1}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}\right)$ $÷\frac{\mathrm{b}}{{\mathrm{a}}^2-2\mathrm{ab}+{\mathrm{b}}^2}$，其中 $a＝（\frac{1}{3}{）}^{﹣1}$， $b＝（﹣2022{）}^0$．

已知方程组 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\mathrm{y}=3\mathrm{①}\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=1\mathrm{②}\end{array}\right.$的解满足 $2kx﹣3y＜5$，求 $k$的取值范围．

【问题提出】

如图（1），在 $△ABC$中， $AB＝AC$， $D$是 $AC$的中点，延长 $BC$至点 $E$，使 $DE＝DB$，延长 $ED$交 $AB$于点 $F$，探究 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}$的值．

【问题探究】

（1）先将问题特殊化．如图（2），当 $\angle BAC＝60°$时，直接写出 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}$的值；

（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．

【问题拓展】

如图（3），在 $△ABC$中， $AB＝AC$， $D$是 $AC$的中点， $G$是边 $BC$上一点， $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{n}（n＜2）$，延长 $BC$至点 $E$，使 $DE＝DG$，延长 $ED$交 $AB$于点 $F$．直接写出 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}$的值（用含 $n$的式子表示）．

在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在 $A$处开始减速，此时白球在黑球前面 $70cm$处．

小聪测量黑球减速后的运动速度 $v$（单位： $cm/s$）、运动距离 $y$（单位： $cm$）随运动时间 $t$（单位： $s$）变化的数据，整理得下表．

运动时间t/s	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
运动速度v/cm/s	$10$	$9.5$	9	$8.5$	$8$
运动距离y/cm	$0$	$9.75$	19	$27.75$	$36$

小聪探究发现，黑球的运动速度 $v$与运动时间 $t$之间成一次函数关系，运动距离 $y$与运动时间 $t$之间成二次函数关系．

（1）直接写出 $v$关于 $t$的函数解析式和 $y$关于 $t$的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）当黑球减速后运动距离为 $64cm$时，求它此时的运动速度；

（3）若白球一直以 $2cm/s$的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．

如图，以 $AB$为直径的 $\odot O$经过 $△ABC$的顶点 $C$， $AE，BE$分别平分 $\angle BAC$和 $\angle ABC$， $AE$的延长线交 $\odot O$于点 $D$，连接 $BD$．

（1）判断 $△BDE$的形状，并证明你的结论；

（2）若 $AB＝10$， $BE＝2\sqrt{10}$，求 $BC$的长．

为庆祝中国共青团成立 $100$周年，某校开展四项活动： $A$项参观学习， $B$项团史宣讲， $C$项经典诵读， $D$项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）本次调查的样本容量是＿＿＿＿＿， $B$项活动所在扇形的圆心角的大小是＿＿＿＿＿，条形统计图中 $C$项活动的人数是＿＿＿＿＿；

（2）若该校约有 $2000$名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．

如图，在四边形 $ABCD$中， $AD\parallel BC$， $\angle B＝80°$．

（1）求 $\angle BAD$的度数；

（2） $AE$平分 $\angle BAD$交 $BC$于点 $E$， $\angle BCD＝50°$．求证： $AE\parallel DC$．

解不等式组 $\left\{\begin{array}{c}x-2\ge -5\mathit{，①}\\ 3x＜x+2．②\end{array}\right.$请按下列步骤完成解答．

（1）解不等式①，得＿＿＿＿＿；

（2）解不等式②，得＿＿＿＿＿；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是＿＿＿＿＿．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y＝kx+b$的图象与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B（0，9）$，与直线 $OC$交于点．

（1）求直线 $AB$的函数表达式；

（2）过点 $C$作 $CD\perp x$轴于点 $D$，将 $△ACD$沿射线 $CB$平移得到的三角形记为 $△A\prime C\prime D\prime$，点 $A，C，D$的对应点分别为 $A\prime ，C\prime ，D\prime$，若 $△A\prime C\prime D\prime$与 $△BOC$重叠部分的面积为 $S$，平移的距离 $CC\prime ＝m$，当点 $A\prime$与点 $B$重合时停止运动．

①若直线 $C\prime D\prime$交直线 $OC$于点 $E$，则线段 $C\prime E$的长为＿＿＿＿＿＿（用含有 $m$的代数式表示）；

②当 $0＜m＜\frac{10}{3}$时， $S$与 $m$的关系式为＿＿＿＿＿＿；

③当 $S=\frac{24}{5}$时， $m$的值为＿＿＿＿＿＿．

如图，四边形 $ABCD$内接于 $ABCD$， $AD$是 $\odot O$的直径， $AD，BC$的延长线交于点 $E$，延长 $CB$交 $PA$于点 $P$， $\angle BAP+\angle DCE＝90°$．

（1）求证： $PA$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $AC$， $\sin \angle BAC=\frac{1}{3}$， $BC＝2$， $AD$的长为＿＿＿＿＿＿．

如图，用一根 $60$厘米的铁丝制作一个“日”字型框架 $ABCD$，铁丝恰好全部用完．

（1）若所围成的矩形框架 $ABCD$的面积为 $144$平方厘米，则 $AB$的长为多少厘米？

（2）矩形框架 $ABCD$面积的最大值为＿＿＿＿＿＿平方厘米．

某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）此次被调查的学生人数为＿＿＿＿＿＿名；

（2）补全条形统计图；

（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；

（4）根据抽样调查结果，请你估计该校 $800$名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．

如图，在 $△ABC$中， $AD$是 $△ABC$的角平分线，分别以点 $A，D$为圆心，大于 $\frac{1}{2}AD$的长为半径作弧，两弧交于点 $M，N$，作直线 $MN$，分别交 $AB，AD$， $AC$于点 $E，O，F$，连接 $DE，DF$．

（1）由作图可知，直线 $MN$是线段 $AD$的＿＿＿＿＿＿．

（2）求证：四边形AEDF是菱形．

为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号 $1，2，3，4$，分别写在完全相同的 $4$张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．

（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“ $4$”的概率是＿＿＿＿＿＿；

（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“ $2$”和“ $3$”的概率．

计算： $\sqrt{12}-3\tan 30°+$ $（\frac{1}{2}{）}^{﹣2}+$| $\left|\sqrt{3}-2\right|$．