已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点

更新 2022-10-25
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．

（1）如图1，若 $C O ⊥ A B$ ， $∠ D ＝ 30 ° ， O A ＝ 1$ ，求AD的长；

（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且 $∠ A C D ＝ ∠ A C E$ ．求证： $C E ⊥ A B$ ．

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问题提出：平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点(任意三点均不在同一直线上），能否在同一个圆呢？
初步思考：设不在同一条直线上的三点、、确定的圆为⊙．
（1）当、在线段的同侧时，

如图①，若点在⊙上，此时有，理由是；
如图②，若点在⊙内，此时有；
如图③，若点在⊙外，此时有．（填“”、“”或“”）；
由上面的探究，请直接写出、、、四点在同一个圆上的条件：．
类比学习：（2）仿照上面的探究思路，请探究：当、在线段的异侧时的情形．

如图④，此时有，如图⑤，此时有，
如图⑥，此时有．
由上面的探究，请用文字语言直接写出、、、四点在同一个圆上的条件：
．
拓展延伸：（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？
已知：如图，是⊙的直径，点在⊙上，求作：．
作法：①连接，；
②在上任取异于、的一点，连接，；
③与相交于点，延长、，交于点；
④连接、并延长，交直径于；
⑤连接、并延长，交⊙于N．连接．则．
请按上述作法在图④中作图，并说明的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）

题型：未知
难度：未知

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沿海开发公司准备投资开发、两种新产品，通过市场调研发现：
（1）若单独投资种产品，则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间满足正比例函数关系：；
（2）若单独投资种产品，则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间满足二次函数关系：．
（3）根据公司信息部的报告，，（万元）与投资金额（万元）的部分对应值如下表所示：

	1	5
	0.8	4
	3.8	15

（1）填空：；；
（2）若公司准备投资20万元同时开发、两种新产品，设公司所获得的总利润为（万元），试写出与某种产品的投资金额（万元）之间的函数关系式；
（3）请你设计一个在（2）中能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元？

题型：未知
难度：未知

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科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：

温度/℃	……	－4	－2	0	2	4	4.5	……
植物每天高度增长量/mm	……	41	49	49	41	25	19.75	……

由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；
（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？
（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．