初中数学圆周角定理解答题

已知： $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=2$，弦 $\mathit{DE}=1$，直线 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$相交于点 $C$，弦 $\mathit{DE}$在 $\odot O$上运动且保持长度不变， $\odot O$的切线 $\mathit{DF}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$．

（1）如图1，若 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$，求证： $\mathit{CF}=\mathit{EF}$；

（2）如图2，当点 $E$运动至与点 $B$重合时，试判断 $\mathit{CF}$与 $\mathit{BF}$是否相等，并说明理由．

如图， $\angle \mathit{BAC}$的平分线交 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆于点 $D$， $\angle \mathit{ABC}$的平分线交 $\mathit{AD}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{DB}$；

（2）若 $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{BD}=4$，求 $\mathit{\Delta ABC}$外接圆的半径．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $O$点在 $\mathit{BC}$边上， $\angle \mathit{BAC}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$，过点 $D$作 $\mathit{BC}$的平行线，与 $\mathit{AB}$的延长线相交于点 $P$．

（1）求证： $\mathit{PD}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $\mathit{\Delta PBD}\backsim \mathit{\Delta DCA}$；

（3）当 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=8$时，求线段 $\mathit{PB}$的长．

已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$是圆上一点， $\angle \mathit{BAC}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$，过 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $E$，如图①．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AC}=6$，求 $\mathit{BD}$的长；

（3）如图②，若 $F$是 $\mathit{OA}$中点， $\mathit{FG}\perp \mathit{OA}$交直线 $\mathit{DE}$于点 $G$，若 $\mathit{FG}=\frac{19}{4}$， $\tan \angle \mathit{BAD}=\frac{3}{4}$，求 $\odot O$的半径．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\angle \mathit{ACD}=25°$，求 $\angle \mathit{BAD}$的度数．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PB}$与 $\odot O$相切于点 $B$，连接 $\mathit{PA}$交 $\odot O$于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{CBP}$；

（2）求证： $P{B}^2=\mathit{PC}·\mathit{PA}$；

（3）当 $\mathit{AC}=6$， $\mathit{CP}=3$时，求 $\sin \angle \mathit{PAB}$的值．

如图，已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$， $\angle C=90°$， $D$为 $\mathit{BC}$的中点，以 $\mathit{AC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AE}:\mathit{EB}=1:2$， $\mathit{BC}=6$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，点 $E$是 $\mathit{\Delta ABC}$的内心， $\mathit{AE}$的延长线交 $\mathit{BC}$于点 $F$，交 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{BD}$，过点 $D$作直线 $\mathit{DM}$，使 $\angle \mathit{BDM}=\angle \mathit{DAC}$．

（1）求证：直线 $\mathit{DM}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $D{E}^2=\mathit{DF}·\mathit{DA}$．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{CD}$切 $\odot O$于点 $C$，与 $\mathit{BA}$的延长线交于点 $D$， $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{CA}$、 $\mathit{CE}$、 $\mathit{CB}$，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{CE}$于点 $F$，延长 $\mathit{AF}$交 $\mathit{BC}$于点 $P$．

（1）求证： $\mathit{CA}=\mathit{CP}$；

（2）连接 $\mathit{OF}$，若 $\mathit{AC}=\sqrt{3}$， $\angle D=30°$，求线段 $\mathit{OF}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{BC}$是 $\odot O$的直径，点 $A$是 $\odot O$上的定点， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\odot O$于点 $D$， $\mathit{DG}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{AC}$延长线于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{DG}$与 $\odot O$相切；

（2）作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$于点 $E$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$于点 $F$，试判断线段 $\mathit{BE}$、 $\mathit{CF}$、 $\mathit{EF}$三者之间的数量关系，并证明你的结论（不用尺规作图的方法补全图形）．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $\mathit{CD}$与 $\odot O$相切于点 $D$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AD}$，交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $E$．

（1）求证： $\angle \mathit{BDC}=\angle A$；

（2）若 $\mathit{CE}=4$， $\mathit{DE}=2$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$、 $D$在 $\odot O$上， $\angle A=2\angle \mathit{BCD}$，点 $E$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $\angle \mathit{AED}=\angle \mathit{ABC}$．

（1）求证： $\mathit{DE}$与 $\odot O$相切；

（2）若 $\mathit{BF}=2$， $\mathit{DF}=\sqrt{10}$，求 $\odot O$的半径．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，且点 $E$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$的中点，连接 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BE}$于点 $F$，连接 $\mathit{EA}$， $\mathit{ED}$．

（1）求证： $\mathit{AC}=\mathit{AF}$；

（2）若 $\mathit{EF}=2$， $\mathit{BF}=8$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，点 $E$在以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上，点 $C$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BE}}$的中点，过点 $C$作 $\mathit{CD}$垂直于 $\mathit{AE}$，交 $\mathit{AE}$的延长线于点 $D$，连接 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\cos \angle \mathit{CAD}=\frac{4}{5}$， $\mathit{BF}=15$，求 $\mathit{AC}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径，点 $C$是半圆上一点，连接 $\mathit{OC}$， $\mathit{BC}$，以点 $C$为顶点， $\mathit{CB}$为边作 $\angle \mathit{BCF}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BOC}$，延长 $\mathit{AB}$交 $\mathit{CF}$于点 $D$．

（1）求证：直线 $\mathit{CF}$是半圆 $O$的切线；

（2）若 $\mathit{BD}=5$， $\mathit{CD}=5\sqrt{3}$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的长．