初中数学圆周角定理作图题

如图， $\mathit{AB}$为半圆 $O$的直径， $C$为半圆上一点， $\mathit{AC}<\mathit{BC}$．

（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在 $\mathit{BC}$上作一点 $D$，使得直线 $\mathit{OD}$平分 $\mathit{ABC}$的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{AB}=10$， $\mathit{OD}=2\sqrt{5}$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图1， $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle C=90°$，点 $D$在 $\mathit{AC}$上， $\angle \mathit{CBD}=\angle A$，过 $A$、 $D$两点的圆的圆心 $O$在 $\mathit{AB}$上．

（1）利用直尺和圆规在图1中画出 $\odot O$（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；

（2）判断 $\mathit{BD}$所在直线与（1）中所作的 $\odot O$的位置关系，并证明你的结论；

（3）设 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$， $F$为垂足，若点 $D$是线段 $\mathit{AC}$的黄金分割点（即 $\frac{\mathit{DC}}{\mathit{AD}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}})$，如图2，试说明四边形 $\mathit{DEFC}$是正方形）．

“直角”在初中几何学习中无处不在．

如图，已知 $\angle \mathit{AOB}$，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断 $\angle \mathit{AOB}$是否为直角（仅限用直尺和圆规）．