初中数学圆周角定理解答题

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的直径，延长线段 $\mathit{AC}$至点 $G$，使 $\mathit{AG}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{DG}$交 $\odot O$于点 $E$， $\mathit{EF}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AG}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{EF}$与 $\odot O$相切．

（2）若 $\mathit{EF}=2\sqrt{3}$， $\mathit{AC}=4$，求扇形 $\mathit{OAC}$的面积．

如图， $\mathit{BE}$是 $\odot O$的直径，点 $A$和点 $D$是 $\odot O$上的两点，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{DE}$，过点 $A$作射线交 $\mathit{BE}$的延长线于点 $C$，使 $\angle \mathit{EAC}=\angle \mathit{EDA}$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{CE}=\mathit{AE}=2\sqrt{3}$，求阴影部分的面积．

如图， $M$， $N$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上的点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{AN}}=\stackrel{̂}{\mathit{BN}}$，弦 $\mathit{MN}$交 $\mathit{AB}$于点 $C$， $\mathit{BM}$平分 $\angle \mathit{ABD}$， $\mathit{MF}\perp \mathit{BD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{MF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{CN}=3$， $\mathit{BN}=4$，求 $\mathit{CM}$的长．

如图，点 $M$是矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$延长线上一点，以 $\mathit{AM}$为直径的 $\odot O$交矩形对角

线 $\mathit{AC}$于点 $F$，在线段 $\mathit{CD}$上取一点 $E$，连接 $\mathit{EF}$，使 $\mathit{EC}=\mathit{EF}$．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\cos \angle \mathit{CAD}=\frac{3}{5}$， $\mathit{AF}=6$， $\mathit{MD}=2$，求 $\mathit{FC}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$，点 $O$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部， $\odot O$经过 $B$， $C$两点，交 $\mathit{AB}$于点 $D$，连接 $\mathit{CO}$并延长交 $\mathit{AB}$于点 $G$，以 $\mathit{GD}$， $\mathit{GC}$为邻边作 $▱\mathit{GDEC}$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由．

（2）若点 $B$是 $\stackrel{̂}{\mathit{DBC}}$的中点， $\odot O$的半径为2，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的长．

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径，过点 $A$的切线与 $\mathit{CD}$的延长线相交于点 $P$．且 $\angle \mathit{APC}=\angle \mathit{BCP}$

（1）求证： $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{ACD}$；

（2）过图1中的点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $E$（如图 $2)$，当 $\mathit{BC}=6$， $\mathit{AE}=2$时，求 $\odot O$的半径．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为菱形，以 $\mathit{AD}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连接 $\mathit{DB}$交 $\odot O$于点 $H$， $E$是 $\mathit{BC}$上的一点，且 $\mathit{BE}=\mathit{BF}$，连接 $\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{BF}=2$， $\mathit{DH}=\sqrt{5}$，求 $\odot O$的半径．

如图，点 $P$为正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上的一点，连接 $\mathit{BP}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $E$，交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $F$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta DEF}$的外接圆，连接 $\mathit{DP}$．

（1）求证： $\mathit{DP}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\tan \angle \mathit{PDC}=\frac{1}{2}$，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，求 $\odot O$的半径和线段 $\mathit{OP}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$是 $\mathit{AC}$上一点，过 $B$， $C$， $D$三点的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{ED}$， $\mathit{EC}$，点 $F$是线段 $\mathit{AE}$上的一点，连接 $\mathit{FD}$，其中 $\angle \mathit{FDE}=\angle \mathit{DCE}$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $D$是 $\mathit{AC}$的中点， $\angle A=30°$， $\mathit{BC}=4$，求 $\mathit{DF}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$是 $\mathit{AC}$上一点，过 $B$， $C$， $D$三点的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{ED}$， $\mathit{EC}$，点 $F$是线段 $\mathit{AE}$上的一点，连接 $\mathit{FD}$，其中 $\angle \mathit{FDE}=\angle \mathit{DCE}$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $D$是 $\mathit{AC}$的中点， $\angle A=30°$， $\mathit{BC}=4$，求 $\mathit{DF}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}$与 $\mathit{AB}$交于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$，过点 $A$作直线 $\mathit{MN}$，使 $\angle \mathit{MAC}=\angle \mathit{ADC}$．

（1）求证：直线 $\mathit{MN}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\sin \angle \mathit{ADC}=\frac{1}{2}$， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{AE}=3$，求 $\mathit{DE}$的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$中，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{AC}=\mathit{AD}$，以 $\mathit{AC}$为直径的 $\odot O$过点 $B$，交 $\mathit{CD}$于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAC}=30°$， $\mathit{BC}=2$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BCE}}$的长．（结果保留 $\pi )$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$， $O$是 $\mathit{AB}$上一点，经过 $A$， $E$两点的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，连接 $\mathit{DE}$，作 $\angle \mathit{DEA}$的平分线 $\mathit{EF}$交 $\odot O$于点 $F$，连接 $\mathit{AF}$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\sin \angle \mathit{EFA}=\frac{4}{5}$， $\mathit{AF}=5\sqrt{2}$，求线段 $\mathit{AC}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$， $E$是 $\mathit{OB}$的中点，连接 $\mathit{CE}$并延长到点 $F$，使 $\mathit{EF}=\mathit{CE}$．连接 $\mathit{AF}$交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证：直线 $\mathit{BF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{OB}=2$，求 $\mathit{BD}$的长．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$，以 $\mathit{AB}$为直径作 $\odot O$，点 $D$为 $\odot O$上一点，且 $\mathit{CD}=\mathit{CB}$，连接 $\mathit{DO}$并延长交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $E$．

（1）判断直线 $\mathit{CD}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{BE}=4$， $\mathit{DE}=8$，求 $\mathit{AC}$的长．