初中数学圆周角定理解答题

如图，直线 $\mathit{AD}$经过 $\odot O$上的点 $A$， $\mathit{\Delta ABC}$为 $\odot O$的内接三角形，并且 $\angle \mathit{CAD}=\angle B$．

（1）判断直线 $\mathit{AD}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\angle \mathit{CAD}=30°$， $\odot O$的半径为1，求图中阴影部分的面积．（结果保留 $\pi )$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\angle \mathit{BAD}=90°$，点 $E$在 $\mathit{BC}$的延长线上，且 $\angle \mathit{DEC}=\angle \mathit{BAC}$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}//\mathit{DE}$，当 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CE}=2$时，求 $\mathit{AC}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的弦， $\mathit{OD}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{OD}$与 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $D$，点 $E$在 $\mathit{OD}$上，且 $\mathit{CE}=\mathit{DE}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{OA}=2\sqrt{3}$， $\mathit{AC}=3$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=8$，点 $C$和点 $D$是 $\odot O$上关于直线 $\mathit{AB}$对称的两个点，连接 $\mathit{OC}$、 $\mathit{AC}$，且 $\angle \mathit{BOC}<90°$，直线 $\mathit{BC}$和直线 $\mathit{AD}$相交于点 $E$，过点 $C$作直线 $\mathit{CG}$与线段 $\mathit{AB}$的延长线相交于点 $F$，与直线 $\mathit{AD}$相交于点 $G$，且 $\angle \mathit{GAF}=\angle \mathit{GCE}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CG}$为 $\odot O$的切线；

（2）若点 $H$为线段 $\mathit{OB}$上一点，连接 $\mathit{CH}$，满足 $\mathit{CB}=\mathit{CH}$，

① $\mathit{\Delta CBH}\backsim \mathit{\Delta OBC}$；

②求 $\mathit{OH}+\mathit{HC}$的最大值．

如图，点 $P$是 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}$延长线上一点，且 $\mathit{AB}=4$，点 $M$为 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$上一个动点（不与 $A$， $B$重合），射线 $\mathit{PM}$与 $\odot O$交于点 $N$（不与 $M$重合）．

（1）当 $M$在什么位置时， $\mathit{\Delta MAB}$的面积最大，并求出这个最大值；

（2）求证： $\mathit{\Delta PAN}\backsim \mathit{\Delta PMB}$．

如图，线段 $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，点 $C$， $E$在 $\odot O$上， $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}=\stackrel{̂}{\mathit{CE}}$， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $D$，连接 $\mathit{BE}$，弦 $\mathit{BE}$与线段 $\mathit{CD}$相交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{CF}=\mathit{BF}$；

（2）若 $\cos \angle \mathit{ABE}=\frac{4}{5}$，在 $\mathit{AB}$的延长线上取一点 $M$，使 $\mathit{BM}=4$， $\odot O$的半径为6．求证：直线 $\mathit{CM}$是 $\odot O$的切线．

如图， $\mathit{AB}$是以 $O$为圆心的半圆的直径，半径 $\mathit{CO}\perp \mathit{AO}$，点 $M$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$上的动点，且不与点 $A$、 $C$、 $B$重合，直线 $\mathit{AM}$交直线 $\mathit{OC}$于点 $D$，连接 $\mathit{OM}$与 $\mathit{CM}$．

（1）若半圆的半径为10．

①当 $\angle \mathit{AOM}=60°$时，求 $\mathit{DM}$的长；

②当 $\mathit{AM}=12$时，求 $\mathit{DM}$的长．

（2）探究：在点 $M$运动的过程中， $\angle \mathit{DMC}$的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

如图， $C$、 $D$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上的点， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$，弦 $\mathit{CD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）当 $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线时，求证： $\angle \mathit{PBD}=\angle \mathit{DAB}$；

（2）求证： $B{C}^2-C{E}^2=\mathit{CE}·\mathit{DE}$；

（3）已知 $\mathit{OA}=4$， $E$是半径 $\mathit{OA}$的中点，求线段 $\mathit{DE}$的长．

已知：如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$，点 $E$为 $\mathit{CD}$边上一点， $\mathit{AE}$与 $\mathit{BE}$分别为 $\angle \mathit{DAB}$和 $\angle \mathit{CBA}$的平分线．

（1）请你添加一个适当的条件　　，使得四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形，并证明你的结论；

（2）作线段 $\mathit{AB}$的垂直平分线交 $\mathit{AB}$于点 $O$，并以 $\mathit{AB}$为直径作 $\odot O$（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（3）在（2）的条件下， $\odot O$交边 $\mathit{AD}$于点 $F$，连接 $\mathit{BF}$，交 $\mathit{AE}$于点 $G$，若 $\mathit{AE}=4$， $\sin \angle \mathit{AGF}=\frac{4}{5}$，求 $\odot O$的半径．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AB}$为直径， $\angle \mathit{BAC}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$、 $F$．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=4$， $\mathit{CE}=2$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的长度．（结果保留 $\pi )$

已知 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的直径，点 $D$是 $\mathit{BC}$延长线上一点， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{AE}$是 $\odot O$的弦， $\angle \mathit{AEC}=30°$．

（1）求证：直线 $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $M$， $\odot O$的半径为4，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，过 $O$点作 $\mathit{OP}\perp \mathit{AB}$，交弦 $\mathit{AC}$于点 $D$，交 $\odot O$于点 $E$，且使 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABC}$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle P=60°$， $\mathit{PC}=2$，求 $\mathit{PE}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$是 $\odot O$上一点， $D$在 $\mathit{AB}$的延长线上，且 $\angle \mathit{BCD}=\angle A$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的半径为3， $\mathit{CD}=4$，求 $\mathit{BD}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $E$是 $\mathit{AC}$的中点， $\mathit{OE}$交 $\mathit{CD}$于点 $F$．

（1）若 $\angle \mathit{BCD}=36°$， $\mathit{BC}=10$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的长；

（2）判断直线 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（3）求证： $2C{E}^2=\mathit{AB}·\mathit{EF}$．

如图，已知 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的直径，点 $D$为 $\mathit{BC}$延长线上的一点，点 $A$为圆上一点，且 $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ACD}\backsim \mathit{\Delta BAD}$；

（2）求证： $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线．