如图,在 Rt Δ ABC 中, ∠ ACB = 90 ° ,以 BC 为直径的 ⊙ O 交 AB 于点 D , E 是 AC 的中点, OE 交 CD 于点 F .
(1)若 ∠ BCD = 36 ° , BC = 10 ,求 BD ̂ 的长;
(2)判断直线 DE 与 ⊙ O 的位置关系,并说明理由;
(3)求证: 2 C E 2 = AB · EF .
在 ΔABC 中, ∠ ACB = 90 ° , AC BC = m , D 是边 BC 上一点,将 ΔABD 沿 AD 折叠得到 ΔAED ,连接 BE .
(1)特例发现
如图1,当 m = 1 , AE 落在直线 AC 上时.
①求证: ∠ DAC = ∠ EBC ;
②填空: CD CE 的值为 ;
(2)类比探究
如图2,当 m ≠ 1 , AE 与边 BC 相交时,在 AD 上取一点 G ,使 ∠ ACG = ∠ BCE , CG 交 AE 于点 H .探究 CG CE 的值(用含 m 的式子表示),并写出探究过程;
(3)拓展运用
在(2)的条件下,当 m = 2 2 , D 是 BC 的中点时,若 EB ⋅ EH = 6 ,求 CG 的长.
为了切实保护汉江生态环境,襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔.禁渔后,某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销,经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售,两种鱼的进价和售价如表所示:
品种
进价(元 / 斤)
售价(元 / 斤)
鲢鱼
a
5
草鱼
b
销量不超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
8
7
已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元,购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元.
(1)求 a , b 的值;
(2)老李每天购进两种鱼共300斤,并在当天都销售完,其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤,设每天销售鲢鱼 x 斤(销售过程中损耗不计).
①分别求出每天销售鲢鱼获利 y 1 (元 ) ,销售草鱼获利 y 2 (元 ) 与 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围;
②端午节这天,老李让利销售,将鲢鱼售价每斤降低 m 元,草鱼售价全部定为7元 / 斤,为了保证当天销售这两种鱼总获利 W (元 ) 最小值不少于320元,求 m 的最大值.
如图,直线 AB 经过 ⊙ O 上的点 C ,直线 BO 与 ⊙ O 交于点 F 和点 D , OA 与 ⊙ O 交于点 E ,与 DC 交于点 G , OA = OB , CA = CB .
(1)求证: AB 是 ⊙ O 的切线;
(2)若 FC / / OA , CD = 6 ,求图中阴影部分面积.
小欣在学习了反比例函数的图象与性质后,进一步研究了函数 y = 1 x + 1 的图象与性质.其研究过程如下:
(1)绘制函数图象
①列表:如表是 x 与 y 的几组对应值,其中 m = ;
x
…
- 4
- 3
- 2
- 3 2
- 4 3
- 2 3
- 1 2
0
1
2
y
- 1 3
- 1
3
m
1 2
1 3
②描点:根据表中的数值描点 ( x , y ) ,请补充描出点 ( 0 , m ) ;
③连线:用平滑的曲线顺次连接各点,请把图象补充完整.
(2)探究函数性质
判断下列说法是否正确(正确的填“ √ ”,错误的填“ × ” )
①函数值 y 随 x 的增大而减小: .
②函数图象关于原点对称: .
③ 函数图象与直线 x = - 1 没有交点: .
如图, BD 为 ▱ ABCD 的对角线.
(1)作对角线 BD 的垂直平分线,分别交 AD , BC , BD 于点 E , F , O (尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接 BE , DF ,求证:四边形 BEDF 为菱形.