如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点

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如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，过 $O$ 点作 $OP ⊥ AB$ ，交弦 $AC$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，且使 $∠ PCA = ∠ ABC$ ．

（1）求证： $PC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ P = 60 °$ ， $PC = 2$ ，求 $PE$ 的长．

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如图，在 $Rt Δ ABC$ 中．

（1）利用尺规作图，在 $BC$ 边上求作一点 $P$ ，使得点 $P$ 到 $AB$ 的距离 $(PD$ 的长）等于 $PC$ 的长；

（2）利用尺规作图，作出（1）中的线段 $PD$ ．

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

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如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的图象经过点 $C (0, 3)$ ，与 $x$ 轴分别交于点 $A$ ，点 $B (3, 0)$ ．点 $P$ 是直线 $BC$ 上方的抛物线上一动点．

（1）求二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的表达式；

（2）连接 $PO$ ， $PC$ ，并把 $ΔPOC$ 沿 $y$ 轴翻折，得到四边形 $POP' C$ ．若四边形 $POP' C$ 为菱形，请求出此时点 $P$ 的坐标；

（3）当点 $P$ 运动到什么位置时，四边形 $ACPB$ 的面积最大？求出此时 $P$ 点的坐标和四边形 $ACPB$ 的最大面积．

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如图，点 $O$ 是 $ΔABC$ 的边 $AB$ 上一点，以 $OB$ 为半径的 $⊙ O$ 与边 $AC$ 相切于点 $E$ ，与边 $BC$ ， $AB$ 分别相交于点 $D$ ， $F$ ，且 $DE = EF$ ．

（1）求证： $∠ C = 90 °$ ；

（2）当 $BC = 3$ ， $\sin A = \frac{3}{5}$ 时，求 $AF$ 的长．

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已知矩形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $AD$ 边上的一个动点，点 $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $BC$ ， $BE$ ， $CE$ 的中点．

（1）求证： $ΔBGF ≅ ΔFHC$ ；

（2）设 $AD = a$ ，当四边形 $EGFH$ 是正方形时，求矩形 $ABCD$ 的面积．

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如图，一次函数 $y = x + 4$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k$ 为常数且 $k \neq 0)$ 的图象交于 $A (- 1, a)$ ， $B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求此反比例函数的表达式；

（2）若点 $P$ 在 $x$ 轴上，且 $S_{ΔACP} = \frac{3}{2} S_{ΔBOC}$ ，求点 $P$ 的坐标．

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