如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是BÊ的中点，过点C

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，点 $E$ 在以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上，点 $C$ 是 $\hat{BE}$ 的中点，过点 $C$ 作 $CD$ 垂直于 $AE$ ，交 $AE$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $BE$ 交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\cos ∠ CAD = \frac{4}{5}$ ， $BF = 15$ ，求 $AC$ 的长．

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请完成下面的说明：（1）如图①所示，△ABC的外角平分线交于G，试说明∠BGC=90°-∠A．
说明：根据三角形内角和等于180°，可知∠ABC+∠ACB=180°-∠_____．
根据平角是180°，可知∠ABE+∠ACF=180°×2=360°，
所以∠EBC+∠FCB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠_____）=180°+∠______．
根据角平分线的意义，可知∠2+∠3=（∠EBC+∠FCB）=（180°+∠_____）=90°+∠_______．
所以∠BGC=180°-（∠2+∠3）=90°-∠____．
（2）如图②所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC=90°+∠A．

（3）用（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？