初中数学四边形综合题解答题

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AB}=\sqrt{7}$， $\mathit{AC}=2$，过点 $B$作直线 $m//\mathit{AC}$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转得到△ $A\text{'}B\text{'}C$（点 $A$， $B$的对应点分别为 $A^{\text{'}}$， $B\text{'})$，射线 $\mathit{CA}\text{'}$， $\mathit{CB}\text{'}$分别交直线 $m$于点 $P$， $Q$．

（1）如图1，当 $P$与 $A\text{'}$重合时，求 $\angle \mathit{ACA}\text{'}$的度数；

（2）如图2，设 $A\text{'}B\text{'}$与 $\mathit{BC}$的交点为 $M$，当 $M$为 $A\text{'}B\text{'}$的中点时，求线段 $\mathit{PQ}$的长；

（3）在旋转过程中，当点 $P$， $Q$分别在 $\mathit{CA}\text{'}$， $\mathit{CB}\text{'}$的延长线上时，试探究四边形 $P{A}^{\text{'}}B\text{'}Q$的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形 $\mathit{PA}\text{'}B\text{'}Q$的最小面积；若不存在，请说明理由．

如图1，以 $▱\mathit{ABCD}$的较短边 $\mathit{CD}$为一边作菱形 $\mathit{CDEF}$，使点 $F$落在边 $\mathit{AD}$上，连接 $\mathit{BE}$，交 $\mathit{AF}$于点 $G$．

（1）猜想 $\mathit{BG}$与 $\mathit{EG}$的数量关系，并说明理由；

（2）延长 $\mathit{DE}$、 $\mathit{BA}$交于点 $H$，其他条件不变：

①如图2，若 $\angle \mathit{ADC}=60°$，求 $\frac{\mathit{DG}}{\mathit{BH}}$的值；

②如图3，若 $\angle \mathit{ADC}=\alpha (0°<\alpha <90°)$，直接写出 $\frac{\mathit{DG}}{\mathit{BH}}$的值（用含 $\alpha$的三角函数表示）

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$， $O$是 $\mathit{BC}$边的中点，点 $E$是正方形内一动点， $\mathit{OE}=2$，连接 $\mathit{DE}$，将线段 $\mathit{DE}$绕点 $D$逆时针旋转 $90°$得 $\mathit{DF}$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$；

（2）若 $A$， $E$， $O$三点共线，连接 $\mathit{OF}$，求线段 $\mathit{OF}$的长．

（3）求线段 $\mathit{OF}$长的最小值．

已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；

（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．

已知：如图，四边形中，，，是对角线上一点，且．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）如果，且，求证：四边形是正方形．

如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．

（1）求证：△ABE≌△EGF；

（2）若AB＝2，S_△ABE＝2S_△ECF，求BE．

定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．

（1）如图1，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点．

求证：四边形是邻余四边形．

（2）如图2，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上．

（3）如图3，在（1）的条件下，取中点，连结并延长交于点，延长交于点．若为的中点，，，求邻余线的长．

在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴的正半轴上，．矩形的顶点，，分别在，，上，．

（Ⅰ）如图①，求点的坐标；

（Ⅱ）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为．

①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，，分别与相交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；

②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．

在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连结．

【感知】如图①，过点作交于点．易证．（不需要证明）

【探究】如图②，取的中点，过点作交于点，交于点．

（1）求证：．

（2）连结，若，则的长为　　．

【应用】如图③，取的中点，连结．过点作交于点，连结、．若，则四边形的面积为　　．

性质探究

如图①，在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为　　．

理解运用

（1）若顶角为的等腰三角形的周长为，则它的面积为　　；

（2）如图②，在四边形中，．

①求证：；

②在边，上分别取中点，，连接．若，，直接写出线段的长．

类比拓展

顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　（用含的式子表示）．

【感知】如图①，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle C=\angle D=90°$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{CD}$ 上， $\angle \mathit{AEB}=90°$ ，求证： $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}=\frac{\mathit{DE}}{\mathit{CB}}$ ．

【探究】如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle C=\angle \mathit{ADC}=90°$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{CD}$ 上，点 $F$ 在边 $\mathit{AD}$ 的延长线上， $\angle \mathit{FEG}=\angle \mathit{AEB}=90°$ ，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{EG}}=\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}$ ，连接 $\mathit{BG}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $H$ ．

求证： $\mathit{BH}=\mathit{GH}$ ．

【拓展】如图③，点 $E$ 在四边形 $\mathit{ABCD}$ 内， $\angle \mathit{AEB}$ 十 $\angle \mathit{DEC}=180°$ ，且 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}=\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EC}}$ ，过 $E$ 作 $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，若 $\angle \mathit{EFA}=\angle \mathit{AEB}$ ，延长 $\mathit{FE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ．求证： $\mathit{BG}=\mathit{CG}$ ．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 和正方形 $\mathit{CEFG}$ （其中 $\mathit{BD}>2\mathit{CE})$ ， $\mathit{BG}$ 的延长线与直线 $\mathit{DE}$ 交于点 $H$ ．

（1）如图1，当点 $G$ 在 $\mathit{CD}$ 上时，求证： $\mathit{BG}=\mathit{DE}$ ， $\mathit{BG}\perp \mathit{DE}$ ；

（2）将正方形 $\mathit{CEFG}$ 绕点 $C$ 旋转一周．

①如图2，当点 $E$ 在直线 $\mathit{CD}$ 右侧时，求证： $\mathit{BH}-\mathit{DH}=\sqrt{2}\mathit{CH}$ ；

②当 $\angle \mathit{DEC}=45°$ 时，若 $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{CE}=1$ ，请直接写出线段 $\mathit{DH}$ 的长．

中心为 $O$ 的正六边形 $\mathit{ABCDEF}$ 的半径为 $6\mathit{cm}$ ，点 $P$ ， $Q$ 同时分别从 $A$ ， $D$ 两点出发，以 $1\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{AF}$ ， $\mathit{DC}$ 向终点 $F$ ， $C$ 运动，连接 $\mathit{PB}$ ， $\mathit{PE}$ ， $\mathit{QB}$ ， $\mathit{QE}$ ，设运动时间为 $t\left(s\right)$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{PBQE}$ 为平行四边形；

（2）求矩形 $\mathit{PBQE}$ 的面积与正六边形 $\mathit{ABCDEF}$ 的面积之比．

如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， 关于 的对称图形为 ．

（1）求证：四边形 是菱形；

（2）连接 ，若 ， ．

①求 的值；

②若点 为线段 上一动点（不与点 重合），连接 ，一动点 从点 出发，以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，再以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，到达点 后停止运动，当点 沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时，求 的长和点 走完全程所需的时间．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形， $\angle \mathit{BAD}=120°$，点 $E$在射线 $\mathit{AC}$上（不包括点 $A$和点 $C)$，过点 $E$的直线 $\mathit{GH}$交直线 $\mathit{AD}$于点 $G$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $H$，且 $\mathit{GH}//\mathit{DC}$，点 $F$在 $\mathit{BC}$的延长线上， $\mathit{CF}=\mathit{AG}$，连接 $\mathit{ED}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{DF}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，

①判断 $\mathit{\Delta AEG}$的形状，并说明理由．

②求证： $\mathit{\Delta DEF}$是等边三角形．

（2）如图2，当点 $E$在 $\mathit{AC}$的延长线上时， $\mathit{\Delta DEF}$是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．