如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 和正方形 $\mathit{CEFG}$ （其中 $\mathit{BD}>2\mathit{CE})$ ， $\mathit{BG}$ 的延长线与直线 $\mathit{DE}$ 交于点 $H$ ．

（1）如图1，当点 $G$ 在 $\mathit{CD}$ 上时，求证： $\mathit{BG}=\mathit{DE}$ ， $\mathit{BG}\perp \mathit{DE}$ ；

（2）将正方形 $\mathit{CEFG}$ 绕点 $C$ 旋转一周．

①如图2，当点 $E$ 在直线 $\mathit{CD}$ 右侧时，求证： $\mathit{BH}-\mathit{DH}=\sqrt{2}\mathit{CH}$ ；

②当 $\angle \mathit{DEC}=45°$ 时，若 $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{CE}=1$ ，请直接写出线段 $\mathit{DH}$ 的长．