初中数学四边形综合题解答题

菱形 $\mathit{ABCD}$中、 $\angle \mathit{BAD}=120°$，点 $O$为射线 $\mathit{CA}$ 上的动点，作射线 $\mathit{OM}$与直线 $\mathit{BC}$相交于点 $E$，将射线 $\mathit{OM}$绕点 $O$逆时针旋转 $60°$，得到射线 $\mathit{ON}$，射线 $\mathit{ON}$与直线 $\mathit{CD}$相交于点 $F$．

（1）如图①，点 $O$与点 $A$重合时，点 $E$， $F$分别在线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上，请直接写出 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{CA}$三条段段之间的数量关系；

（2）如图②，点 $O$在 $\mathit{CA}$的延长线上，且 $\mathit{OA}=\frac{1}{3}\mathit{AC}$， $E$， $F$分别在线段 $\mathit{BC}$的延长线和线段 $\mathit{CD}$的延长线上，请写出 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{CA}$三条线段之间的数量关系，并说明理由；

（3）点 $O$在线段 $\mathit{AC}$上，若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BO}=2\sqrt{7}$，当 $\mathit{CF}=1$时，请直接写出 $\mathit{BE}$的长．

如图1， $\angle \mathit{PAQ}=90°$，分别在 $\angle \mathit{PAQ}$的两边 $\mathit{AP}$， $\mathit{AQ}$上取点 $B$， $E$，使 $\mathit{AB}=\mathit{AE}$，点 $D$在 $\angle \mathit{PAQ}$的平分线 $\mathit{AM}$上， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于点 $F$，点 $F$在线段 $\mathit{AB}$上（不与点 $A$重合），以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$为邻边作 $▱\mathit{ABCD}$，连接 $\mathit{CF}$， $\mathit{EF}$．

（1）猜想 $\mathit{CF}$与 $\mathit{EF}$之间的关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，连接 $\mathit{CE}$交 $\mathit{AM}$于点 $H$．

①求证： $\mathit{AD}+2\mathit{DH}=\sqrt{2}\mathit{AB}$．

②若 $\mathit{AB}=9$， $\frac{\mathit{HD}}{\mathit{AH}}=\frac{2}{7}$，求线段 $\mathit{BC}$的长．

（1）如图①，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，若 $\mathit{AE}$是 $\angle \mathit{BAD}$的平分线，试判断 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{DC}$之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $F$，易证 $\mathit{\Delta AEB}\cong \mathit{\Delta FEC}$得到 $\mathit{AB}=\mathit{FC}$，从而把 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{DC}$转化在一个三角形中即可判断．

$\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{DC}$之间的等量关系　　；

（2）问题探究：如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AF}$与 $\mathit{DC}$的延长线交于点 $F$，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，若 $\mathit{AE}$是 $\angle \mathit{BAF}$的平分线，试探究 $\mathit{AB}$， $\mathit{AF}$， $\mathit{CF}$之间的等量关系，并证明你的结论．

阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边 $\mathit{\Delta ABC}$中， $M$是 $\mathit{BC}$边上一点（不含端点 $B$， $C)$， $N$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外角 $\angle \mathit{ACH}$的平分线上一点，且 $\mathit{AM}=\mathit{MN}$．求证： $\angle \mathit{AMN}=60°$．

点拨：如图②，作 $\angle \mathit{CBE}=60°$， $\mathit{BE}$与 $\mathit{NC}$的延长线相交于点 $E$，得等边 $\mathit{\Delta BEC}$，连接 $\mathit{EM}$．易证： $\mathit{\Delta ABM}\cong \mathit{\Delta EBM}\left(\mathit{SAS}\right)$，可得 $\mathit{AM}=\mathit{EM}$， $\angle 1=\angle 2$；又 $\mathit{AM}=\mathit{MN}$，则 $\mathit{EM}=\mathit{MN}$，可得 $\angle 3=\angle 4$；由 $\angle 3+\angle 1=\angle 4+\angle 5=60°$，进一步可得 $\angle 1=\angle 2=\angle 5$，又因为 $\angle 2+\angle 6=120°$，所以 $\angle 5+\angle 6=120°$，即： $\angle \mathit{AMN}=60°$．

问题：如图③，在正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $M_1$是 $B_1{C}_1$边上一点（不含端点 $B_1$， $C_1)$， $N_1$是正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的外角 $\angle D_1{C}_1{H}_1$的平分线上一点，且 $A_1{M}_1=M_1{N}_1$．求证： $\angle A_1{M}_1{N}_1=90°$．

问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将：矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{AC}$剪开，得到 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ACD}$．并且量得 $\mathit{AB}=2\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=4\mathit{cm}$．

操作发现：

（1）将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$以点 $A$为旋转中心，按逆时针方向旋转 $\angle \alpha$，使 $\angle \alpha =\angle \mathit{BAC}$，得到如图2所示的△ $\mathit{AC}\text{'}D$，过点 $C$作 $\mathit{AC}\text{'}$的平行线，与 $D{C}^{\text{'}}$的延长线交于点 $E$，则四边形 $\mathit{ACEC}\text{'}$的形状是　　．

（2）创新小组将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$以点 $A$为旋转中心，按逆时针方向旋转，使 $B$、 $A$、 $D$三点在同一条直线上，得到如图3所示的△ $\mathit{AC}\text{'}D$，连接 $C{C}^{\text{'}}$，取 $\mathit{CC}\text{'}$的中点 $F$，连接 $\mathit{AF}$并延长至点 $G$，使 $\mathit{FG}=\mathit{AF}$，连接 $\mathit{CG}$、 $C\text{'}G$，得到四边形 $\mathit{ACGC}\text{'}$，发现它是正方形，请你证明这个结论．

实践探究：

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将 $\mathit{\Delta ABC}$沿着 $\mathit{BD}$方向平移，使点 $B$与点 $A$重合，此时 $A$点平移至 $A^{\text{'}}$点， $A^{\text{'}}C$与 $\mathit{BC}\text{'}$相交于点 $H$，如图4所示，连接 $\mathit{CC}\text{'}$，试求 $\tan \angle C\text{'}\mathit{CH}$的值．

如图，点 $E$， $F$分别在正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$， $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{DE}=\mathit{CF}$，点 $P$在射线 $\mathit{BC}$上（点 $P$不与点 $F$重合）．将线段 $\mathit{EP}$绕点 $E$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{EG}$，过点 $E$作 $\mathit{GD}$的垂线 $\mathit{QH}$，垂足为点 $H$，交射线 $\mathit{BC}$于点 $Q$．

（1）如图1，若点 $E$是 $\mathit{CD}$的中点，点 $P$在线段 $\mathit{BF}$上，线段 $\mathit{BP}$， $\mathit{QC}$， $\mathit{EC}$的数量关系为　　．

（2）如图2，若点 $E$不是 $\mathit{CD}$的中点，点 $P$在线段 $\mathit{BF}$上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为6， $\mathit{AB}=3\mathit{DE}$， $\mathit{QC}=1$，请直接写出线段 $\mathit{BP}$的长．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形，点 $E$在直线 $\mathit{AC}$上，连接 $\mathit{BE}$，以 $\mathit{BE}$为边作等边三角形 $\mathit{BEF}$，将线段 $\mathit{CE}$绕点 $C$顺时针旋转 $60°$，得到线段 $\mathit{CD}$，连接 $\mathit{AF}$、 $\mathit{AD}$、 $\mathit{ED}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta ACD}$；

（2）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，求证：四边形 $\mathit{ADEF}$是平行四边形；

（3）如图2，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$延长线上时，四边形 $\mathit{ADEF}$还是平行四边形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形，连接 $\mathit{AC}$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转 $\alpha$得 $\mathit{\Delta AEF}$，连接 $\mathit{CF}$， $O$为 $\mathit{CF}$的中点，连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{OD}$．

（1）如图1，当 $\alpha =45°$时，请直接写出 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OD}$的关系（不用证明）．

（2）如图2，当 $45°<\alpha <90°$时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）当 $\alpha =360°$时，若 $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$，请直接写出点 $O$经过的路径长．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$的顶点 $O$是坐标原点，点 $A$的坐标为 $(6,0)$，点 $B$的坐标为 $(0,8)$，点 $C$的坐标为 $(-2\sqrt{5}$， $4)$，点 $M$， $N$分别为四边形 $\mathit{OABC}$边上的动点，动点 $M$从点 $O$开始，以每秒1个单位长度的速度沿 $O\to A\to B$路线向终点 $B$匀速运动，动点 $N$从 $O$点开始，以每秒两个单位长度的速度沿 $O\to C\to B\to A$路线向终点 $A$匀速运动，点 $M$， $N$同时从 $O$点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间 $t$秒 $(t>0)$， $\mathit{\Delta OMN}$的面积为 $S$．

（1）填空： $\mathit{AB}$的长是　　， $\mathit{BC}$的长是　　；

（2）当 $t=3$时，求 $S$的值；

（3）当 $3<t<6$时，设点 $N$的纵坐标为 $y$，求 $y$与 $t$的函数关系式；

（4）若 $S=\frac{48}{5}$，请直接写出此时 $t$的值．

定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

（1）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，求 $\angle A$的取值范围；

（2）如图，折叠平行四边形纸片 $\mathit{DEBF}$，使顶点 $E$， $F$分别落在边 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$上的点 $A$， $C$处，折痕分别为 $\mathit{DG}$， $\mathit{DH}$．求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是三等角四边形．

（3）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，若 $\mathit{CB}=\mathit{CD}=4$，则当 $\mathit{AD}$的长为何值时， $\mathit{AB}$的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线 $\mathit{AC}$的长．

$\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$为直线 $\mathit{BC}$上一动点（点 $D$不与 $B$， $C$重合），以 $\mathit{AD}$为边在 $\mathit{AD}$右侧作正方形 $\mathit{ADEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）观察猜想

如图1，当点 $D$在线段 $\mathit{BC}$上时，

① $\mathit{BC}$与 $\mathit{CF}$的位置关系为：　　．

② $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{CF}$之间的数量关系为：　　；（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考

如图2，当点 $D$在线段 $\mathit{CB}$的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点 $D$在线段 $\mathit{BC}$的延长线上时，延长 $\mathit{BA}$交 $\mathit{CF}$于点 $G$，连接 $\mathit{GE}$．若已知 $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$， $\mathit{CD}=\frac{1}{4}\mathit{BC}$，请求出 $\mathit{GE}$的长．

如图所示，在正方形 $\mathit{ABCD}$和 $\mathit{\Delta EFG}$中， $\mathit{AB}=\mathit{EF}=\mathit{EG}=5\mathit{cm}$， $\mathit{FG}=8\mathit{cm}$，点 $B$、 $C$、 $F$、 $G$在同一直线 $l$上．当点 $C$、 $F$重合时， $\mathit{\Delta EFG}$以 $1\mathit{cm}/s$的速度沿直线 $l$向左开始运动， $t$秒后正方形 $\mathit{ABCD}$与 $\mathit{\Delta EFG}$重合部分的面积为 $\mathit{Sc}{m}^2$．请解答下列问题：

（1）当 $t=3$秒时，求 $S$的值；

（2）当 $t=5$秒时，求 $S$的值；

（3）当5秒 $<t⩽8$秒时，求 $S$与 $t$的函数关系式，并求出 $S$的最大值．

如图1，以 $▱\mathit{ABCD}$的较短边 $\mathit{CD}$为一边作菱形 $\mathit{CDEF}$，使点 $F$落在边 $\mathit{AD}$上，连接 $\mathit{BE}$，交 $\mathit{AF}$于点 $G$．

（1）猜想 $\mathit{BG}$与 $\mathit{EG}$的数量关系，并说明理由；

（2）延长 $\mathit{DE}$、 $\mathit{BA}$交于点 $H$，其他条件不变：

①如图2，若 $\angle \mathit{ADC}=60°$，求 $\frac{\mathit{DG}}{\mathit{BH}}$的值；

②如图3，若 $\angle \mathit{ADC}=\alpha (0°<\alpha <90°)$，直接写出 $\frac{\mathit{DG}}{\mathit{BH}}$的值（用含 $\alpha$的三角函数表示）

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形， $\angle \mathit{BAD}=120°$，点 $E$在射线 $\mathit{AC}$上（不包括点 $A$和点 $C)$，过点 $E$的直线 $\mathit{GH}$交直线 $\mathit{AD}$于点 $G$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $H$，且 $\mathit{GH}//\mathit{DC}$，点 $F$在 $\mathit{BC}$的延长线上， $\mathit{CF}=\mathit{AG}$，连接 $\mathit{ED}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{DF}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，

①判断 $\mathit{\Delta AEG}$的形状，并说明理由．

②求证： $\mathit{\Delta DEF}$是等边三角形．

（2）如图2，当点 $E$在 $\mathit{AC}$的延长线上时， $\mathit{\Delta DEF}$是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

（1）阅读材料：

教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为　　，故沿虚线 $\mathit{AB}$剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图．

（2）类比解决：

如图2，已知边长为2的正三角形纸板 $\mathit{ABC}$，沿中位线 $\mathit{DE}$剪掉 $\mathit{\Delta ADE}$，请把纸板剩下的部分 $\mathit{DBCE}$剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．

①拼成的正三角形边长为　　；

②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图．

（3）灵活运用：

如图3，把一边长为 $60\mathit{cm}$的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中 $\angle \mathit{BCD}=90°$，延长 $\mathit{DC}$、 $\mathit{BC}$分别与 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$交于点 $E$、 $F$，点 $E$、 $F$分别为 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$的中点，在线段 $\mathit{AC}$和 $\mathit{EF}$处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）