初中数学四边形综合题解答题

已知正方形 $\mathit{ABCD}$中 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于 $O$点，点 $M$在线段 $\mathit{BD}$上，作直线 $\mathit{AM}$交直线 $\mathit{DC}$于 $E$，过 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AE}$于 $H$，设直线 $\mathit{DH}$交 $\mathit{AC}$于 $N$．

（1）如图1，当 $M$在线段 $\mathit{BO}$上时，求证： $\mathit{MO}=\mathit{NO}$；

（2）如图2，当 $M$在线段 $\mathit{OD}$上，连接 $\mathit{NE}$，当 $\mathit{EN}//\mathit{BD}$时，求证： $\mathit{BM}=\mathit{AB}$；

（3）在图3，当 $M$在线段 $\mathit{OD}$上，连接 $\mathit{NE}$，当 $\mathit{NE}\perp \mathit{EC}$时，求证： $A{N}^2=\mathit{NC}\cdot \mathit{AC}$．

菱形 $\mathit{ABCD}$在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的交点 $E$恰好在 $y$轴上，过点 $D$和 $\mathit{BC}$的中点 $H$的直线交 $\mathit{AC}$于点 $F$，线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{CD}$的长是方程 $x^2-9x+18=0$的两根，请解答下列问题：

（1）求点 $D$的坐标；

（2）若反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象经过点 $H$，则 $k=$　　；

（3）点 $Q$在直线 $\mathit{BD}$上，在直线 $\mathit{DH}$上是否存在点 $P$，使以点 $F$， $C$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知点 $O$是正方形 $\mathit{ABCD}$对角线 $\mathit{BD}$的中点．

（1）如图1，若点 $E$是 $\mathit{OD}$的中点，点 $F$是 $\mathit{AB}$上一点，且使得 $\angle \mathit{CEF}=90°$，过点 $E$作 $\mathit{ME}//\mathit{AD}$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$，交 $\mathit{CD}$于点 $N$．求证：

① $\angle \mathit{AEM}=\angle \mathit{FEM}$； ②点 $F$是 $\mathit{AB}$的中点；

（2）如图2，若点 $E$是 $\mathit{OD}$上一点，点 $F$是 $\mathit{AB}$上一点，且使 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{DO}}=\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}=\frac{1}{3}$，请判断 $\mathit{\Delta EFC}$的形状，并说明理由；

（3）如图3，若 $E$是 $\mathit{OD}$上的动点（不与 $O$， $D$重合），连接 $\mathit{CE}$，过 $E$点作 $\mathit{EF}\perp \mathit{CE}$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$，当 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{DB}}=\frac{m}{n}$时，请猜想 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}$的值（请直接写出结论）．

（1）数学理解：如图①， $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形，过斜边 $\mathit{AB}$的中点 $D$作正方形 $\mathit{DECF}$，分别交 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，求 $\mathit{AB}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{AF}$之间的数量关系；

（2）问题解决：如图②，在任意直角 $\mathit{\Delta ABC}$内，找一点 $D$，过点 $D$作正方形 $\mathit{DECF}$，分别交 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，若 $\mathit{AB}=\mathit{BE}+\mathit{AF}$，求 $\angle \mathit{ADB}$的度数；

（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长 $\mathit{ED}$， $\mathit{FD}$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$， $N$，求 $\mathit{MN}$， $\mathit{AM}$， $\mathit{BN}$的数量关系．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，点 $E$为边 $\mathit{AB}$上一动点，连接 $\mathit{CE}$并将其绕点 $C$顺时针旋转 $90°$得到 $\mathit{CF}$，连接 $\mathit{DF}$，以 $\mathit{CE}$、 $\mathit{CF}$为邻边作矩形 $\mathit{CFGE}$， $\mathit{GE}$与 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$分别交于点 $H$、 $M$， $\mathit{GF}$交 $\mathit{CD}$延长线于点 $N$．

（1）证明：点 $A$、 $D$、 $F$在同一条直线上；

（2）随着点 $E$的移动，线段 $\mathit{DH}$是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{EF}$、 $\mathit{MN}$，当 $\mathit{MN}//\mathit{EF}$时，求 $\mathit{AE}$的长．

【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

【理解运用】

（1）如图①，对余四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=6$ ， $\mathit{CD}=4$ ，连接 $\mathit{AC}$ ．若 $\mathit{AC}=\mathit{AB}$ ，求 $\sin \angle \mathit{CAD}$ 的值；

（2）如图②，凸四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=\mathit{BD}$ ， $\mathit{AD}\perp \mathit{BD}$ ，当 $2C{D}^2+C{B}^2=C{A}^2$ 时，判断四边形 $\mathit{ABCD}$ 是否为对余四边形．证明你的结论；

【拓展提升】

（3）在平面直角坐标系中，点 $A(-1,0)$ ， $B(3,0)$ ， $C(1,2)$ ，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是对余四边形，点 $E$ 在对余线 $\mathit{BD}$ 上，且位于 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部， $\angle \mathit{AEC}=90°+\angle \mathit{ABC}$ ．设 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{BE}}=u$ ，点 $D$ 的纵坐标为 $t$ ，请直接写出 $u$ 关于 $t$ 的函数解析式．

如图，四边形 $\mathit{OABC}$是边长为4的正方形，点 $P$为 $\mathit{OA}$边上任意一点（与点 $O$、 $A$不重合），连接 $\mathit{CP}$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp \mathit{CP}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，且 $\mathit{PM}=\mathit{CP}$，过点 $M$作 $\mathit{MN}//\mathit{AO}$，交 $\mathit{BO}$于点 $N$，连接 $\mathit{ND}$、 $\mathit{BM}$，设 $\mathit{OP}=t$．

（1）求点 $M$的坐标（用含 $t$的代数式表示）；

（2）试判断线段 $\mathit{MN}$的长度是否随点 $P$的位置的变化而改变？并说明理由．

（3）当 $t$为何值时，四边形 $\mathit{BNDM}$的面积最小；

（4）在 $x$轴正半轴上存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta QMN}$是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点 $Q$的坐标（用含 $t$的式子表示）．

（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则　 　；

（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；

（3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；

（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为，根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}=90°$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针方向旋转得到△ $A\text{'}B\text{'}C$，记旋转角为 $\alpha$，当 $90°<\alpha <180°$时，作 $A\text{'}D\perp \mathit{AC}$，垂足为 $D$， $A\text{'}D$与 $B\text{'}C$交于点 $E$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{CA}\text{'}D=15°$时，作 $\angle A\text{'}\mathit{EC}$的平分线 $\mathit{EF}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$．

①写出旋转角 $\alpha$的度数；

②求证： $\mathit{EA}\text{'}+\mathit{EC}=\mathit{EF}$；

（2）如图2，在（1）的条件下，设 $P$是直线 $A\text{'}D$上的一个动点，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PF}$，若 $\mathit{AB}=\sqrt{2}$，求线段 $\mathit{PA}+\mathit{PF}$的最小值．（结果保留根号）

定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为"直角等邻对补"四边形，简称"直等补"四边形．

根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是 $\mathit{CD}$ 上的点，将 $\mathit{\Delta BCE}$ 绕 $B$ 点旋转，使 $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{BA}$ 重合，此时点 $E$ 的对应点 $F$ 在 $\mathit{DA}$ 的延长线上，则四边形 $\mathit{BEDF}$ 为"直等补"四边形，为什么？

（2）如图2，已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是"直等补"四边形， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=5$ ， $\mathit{CD}=1$ ， $\mathit{AD}>\mathit{AB}$ ，点 $B$ 到直线 $\mathit{AD}$ 的距离为 $\mathit{BE}$ ．

①求 $\mathit{BE}$ 的长；

②若 $M$ 、 $N$ 分别是 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AD}$ 边上的动点，求 $\mathit{\Delta MNC}$ 周长的最小值．

综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$ ，垂足为 $E$ ， $F$ 为 $\mathit{CD}$ 的中点，连接 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{BF}$ ，试猜想 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{BF}$ 的数量关系，并加以证明．

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将 $▱\mathit{ABCD}$ 沿着 $\mathit{BF}(F$ 为 $\mathit{CD}$ 的中点）所在直线折叠，如图②，点 $C$ 的对应点为 $C\text{'}$ ，连接 $\mathit{DC}\text{'}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 于点 $G$ ，请判断 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{BG}$ 的数量关系，并加以证明．

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将 $▱\mathit{ABCD}$ 沿过点 $B$ 的直线折叠，如图③，点 $A$ 的对应点为 $A\text{'}$ ，使 $A\text{'}B\perp \mathit{CD}$ 于点 $H$ ，折痕交 $\mathit{AD}$ 于点 $M$ ，连接 $A\text{'}M$ ，交 $\mathit{CD}$ 于点 $N$ ．该小组提出一个问题：若此 $▱\mathit{ABCD}$ 的面积为20，边长 $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=2\sqrt{5}$ ，求图中阴影部分（四边形 $\mathit{BHNM})$ 的面积．请你思考此问题，直接写出结果．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle C=90°$， $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$分别平分 $\angle \mathit{ADC}$， $\angle \mathit{ABC}$，并交线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$于点 $E$， $F$（点 $E$， $B$不重合）．在线段 $\mathit{BF}$上取点 $M$， $N$（点 $M$在 $\mathit{BN}$之间），使 $\mathit{BM}=2\mathit{FN}$．当点 $P$从点 $D$匀速运动到点 $E$时，点 $Q$恰好从点 $M$匀速运动到点 $N$．记 $\mathit{QN}=x$， $\mathit{PD}=y$，已知 $y=-\frac{6}{5}x+12$，当 $Q$为 $\mathit{BF}$中点时， $y=\frac{24}{5}$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\mathit{BF}$的位置关系，并说明理由．

（2）求 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$的长．

（3）若 $\mathit{AD}=6$．

①当 $\mathit{DP}=\mathit{DF}$时，通过计算比较 $\mathit{BE}$与 $\mathit{BQ}$的大小关系．

②连结 $\mathit{PQ}$，当 $\mathit{PQ}$所在直线经过四边形 $\mathit{ABCD}$的一个顶点时，求所有满足条件的 $x$的值．

已知，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=2$， $D$是 $\mathit{AC}$边上的一个动点，将 $\mathit{\Delta ABD}$沿 $\mathit{BD}$所在直线折叠，使点 $A$落在点 $P$处．

（1）如图1，若点 $D$是 $\mathit{AC}$中点，连接 $\mathit{PC}$．

①写出 $\mathit{BP}$， $\mathit{BD}$的长；

②求证：四边形 $\mathit{BCPD}$是平行四边形．

（2）如图2，若 $\mathit{BD}=\mathit{AD}$，过点 $P$作 $\mathit{PH}\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $H$，求 $\mathit{PH}$的长．

如图1，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 的底边 $\mathit{BC}$ 在 $x$ 轴上， $\mathit{BC}=8$ ，顶点 $A$ 在 $y$ 的正半轴上， $\mathit{OA}=2$ ，一动点 $E$ 从 $(3,0)$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达 $\mathit{OB}$ 的中点停止．另一动点 $F$ 从点 $C$ 出发，以相同的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达点 $O$ 停止．已知点 $E$ 、 $F$ 同时出发，以 $\mathit{EF}$ 为边作正方形 $\mathit{EFGH}$ ，使正方形 $\mathit{EFGH}$ 和 $\mathit{\Delta ABC}$ 在 $\mathit{BC}$ 的同侧，设运动的时间为 $t$ 秒 $(t⩾0)$ ．

（1）当点 $H$ 落在 $\mathit{AC}$ 边上时，求 $t$ 的值；

（2）设正方形 $\mathit{EFGH}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 重叠面积为 $S$ ，请问是否存在 $t$ 值，使得 $S=\frac{91}{36}$ ？若存在，求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取 $\mathit{AC}$ 的中点 $D$ ，连结 $\mathit{OD}$ ，当点 $E$ 、 $F$ 开始运动时，点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $2\sqrt{5}$ 个单位的速度沿 $\mathit{OD}-\mathit{DC}-\mathit{CD}-\mathit{DO}$ 运动，到达点 $O$ 停止运动．请问在点 $E$ 的整个运动过程中，点 $M$ 可能在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）吗？如果可能，求出点 $M$ 在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

以菱形 $\mathit{ABCD}$的对角线交点 $O$为坐标原点， $\mathit{AC}$所在的直线为 $x$轴，已知 $A(-4,0)$， $B(0,-2)$， $M(0,4)$， $P$为折线 $\mathit{BCD}$上一动点，作 $\mathit{PE}\perp y$轴于点 $E$，设点 $P$的纵坐标为 $a$．

（1）求 $\mathit{BC}$边所在直线的解析式；

（2）设 $y=M{P}^2+O{P}^2$，求 $y$关于 $a$的函数关系式；

（3）当 $\mathit{\Delta OPM}$为直角三角形时，求点 $P$的坐标．