在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合）

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 是边 $CD$ 上一点（点 $E$ 不与点 $C$ 、 $D$ 重合），连结 $BE$ ．

【感知】如图①，过点 $A$ 作 $AF ⊥ BE$ 交 $BC$ 于点 $F$ ．易证 $ΔABF ≅ ΔBCE$ ．（不需要证明）

【探究】如图②，取 $BE$ 的中点 $M$ ，过点 $M$ 作 $FG ⊥ BE$ 交 $BC$ 于点 $F$ ，交 $AD$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $BE = FG$ ．

（2）连结 $CM$ ，若 $CM = 1$ ，则 $FG$ 的长为　　．

【应用】如图③，取 $BE$ 的中点 $M$ ，连结 $CM$ ．过点 $C$ 作 $CG ⊥ BE$ 交 $AD$ 于点 $G$ ，连结 $EG$ 、 $MG$ ．若 $CM = 3$ ，则四边形 $GMCE$ 的面积为　　．

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如图，在 $▱ ABCD$ 中，以点 $A$ 为圆心， $AB$ 长为半径画弧交 $AD$ 于点 $F$ ，再分别以点 $B$ 、 $F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} BF$ 的相同长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ；连接 $AP$ 并延长交 $BC$ 于点 $E$ ，连接 $EF$ ，则所得四边形 $ABEF$ 是菱形．

（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形 $ABEF$ 是菱形；

（2）若菱形 $ABEF$ 的周长为16， $AE = 4 \sqrt{3}$ ，求 $∠ C$ 的大小．

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为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势情况，现从中随机抽取6株，并测得它们的株高（单位： $cm)$ 如表所示：

甲	63	66	63	61	64	61
乙	63	65	60	63	64	63

（1）请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐？

（2）现将进行两种小麦优良品种杂交实验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机抽取一株进行配对，以预估整体配对状况，请你用列表法或画树状图的方法，求所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率．

题型：未知
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根据要求，解答下列问题：

①方程 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的解为　　；

②方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的解为　　；

③方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的解为　　；

$\dots$

（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：

①方程 $x^{2} - 9 x + 8 = 0$ 的解为　　；

②关于 $x$ 的方程　　的解为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = n$ ．

（3）请用配方法解方程 $x^{2} - 9 x + 8 = 0$ ，以验证猜想结论的正确性．

题型：未知
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如图①，已知 $ΔABC$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 、 $C (0, 3)$ ，直线 $BE$ 交 $y$ 轴正半轴于点 $E$ ．

（1）求经过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的抛物线解析式及顶点 $D$ 的坐标；

（2）连接 $BD$ 、 $CD$ ，设 $∠ DBO = α$ ， $∠ EBO = β$ ，若 $\tan (α - β) = 1$ ，求点 $E$ 的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，动点 $M$ 从点 $C$ 出发以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位的速度在直线 $BC$ 上移动（不考虑点 $M$ 与点 $C$ 、 $B$ 重合的情况），点 $N$ 为抛物线上一点，设点 $M$ 移动的时间为 $t$ 秒，在点 $M$ 移动的过程中，以 $E$ 、 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的 $t$ 值及点 $M$ 的个数；若不能，请说明理由．

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已知：如图①，将 $∠ D = 60 °$ 的菱形 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 剪开，将 $ΔADC$ 沿射线 $DC$ 方向平移，得到 $ΔBCE$ ，点 $M$ 为边 $BC$ 上一点（点 $M$ 不与点 $B$ 、点 $C$ 重合），将射线 $AM$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ ，与 $EB$ 的延长线交于点 $N$ ，连接 $MN$ ．

（1）①求证： $∠ ANB = ∠ AMC$ ；

②探究 $ΔAMN$ 的形状；

（2）如图②，若菱形 $ABCD$ 变为正方形 $ABCD$ ，将射线 $AM$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $45 °$ ，原题其他条件不变，（1）中的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．

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