初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高 $\mathit{MN}$．他俩在小明家的窗台 $B$处，测得商业大厦顶部 $N$的仰角 $\angle 1$的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在 $B$处测得商业大厦底部 $M$的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台 $C$处测得大厦底部 $M$的俯角 $\angle 2$的度数，竟然发现 $\angle 1$与 $\angle 2$恰好相等．已知 $A$， $B$， $C$三点共线， $\mathit{CA}\perp \mathit{AM}$， $\mathit{NM}\perp \mathit{AM}$， $\mathit{AB}=31m$， $\mathit{BC}=18m$，试求商业大厦的高 $\mathit{MN}$．

如图， $\mathit{OF}$是 $\angle \mathit{MON}$的平分线，点 $A$在射线 $\mathit{OM}$上， $P$， $Q$是直线 $\mathit{ON}$上的两动点，点 $Q$在点 $P$的右侧，且 $\mathit{PQ}=\mathit{OA}$，作线段 $\mathit{OQ}$的垂直平分线，分别交直线 $\mathit{OF}$、 $\mathit{ON}$于点 $B$、点 $C$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{PB}$．

（1）如图1，当 $P$、 $Q$两点都在射线 $\mathit{ON}$上时，请直接写出线段 $\mathit{AB}$与 $\mathit{PB}$的数量关系；

（2）如图2，当 $P$、 $Q$两点都在射线 $\mathit{ON}$的反向延长线上时，线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{PB}$是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；

（3）如图3， $\angle \mathit{MON}=60°$，连接 $\mathit{AP}$，设 $\frac{\mathit{AP}}{\mathit{OQ}}=k$，当 $P$和 $Q$两点都在射线 $\mathit{ON}$上移动时， $k$是否存在最小值？若存在，请直接写出 $k$的最小值；若不存在，请说明理由．

已知：在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $E$，且 $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$，作 $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$，垂足为点 $F$， $\mathit{BF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$， $\angle \mathit{BGE}=\angle \mathit{ADE}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{AD}=\mathit{CD}$；

（2）如图2， $\mathit{BH}$是 $\mathit{\Delta ABE}$的中线，若 $\mathit{AE}=2\mathit{DE}$， $\mathit{DE}=\mathit{EG}$，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于 $\mathit{\Delta ADE}$面积的2倍．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{CG}\perp \mathit{BA}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $G$．

特例感知：

（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 $F$，一条直角边与 $\mathit{AC}$重合，另一条直角边恰好经过点 $B$．通过观察、测量 $\mathit{BF}$与 $\mathit{CG}$的长度，得到 $\mathit{BF}=\mathit{CG}$．请给予证明．

猜想论证：

（2）当三角尺沿 $\mathit{AC}$方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与 $\mathit{AC}$边重合，另一条直角边交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BA}$垂足为 $E$．此时请你通过观察、测量 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$的长度，猜想并写出 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

联系拓展：

（3）当三角尺在图2的基础上沿 $\mathit{AC}$方向继续移动到图3所示的位置（点 $F$在线段 $\mathit{AC}$上，且点 $F$与点 $C$不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $E$，且 $\mathit{AC}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADB}\cong \mathit{\Delta BCA}$；

（2）若 $\mathit{OD}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{AB}=4$，求弦 $\mathit{AC}$的长；

（3）在（2）的条件下，延长 $\mathit{AB}$至点 $P$，使 $\mathit{BP}=2$，连接 $\mathit{PC}$．求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线．

已知 $\angle \mathit{MPN}$的两边分别与 $\odot O$相切于点 $A$， $B$， $\odot O$的半径为 $r$．

（1）如图1，点 $C$在点 $A$， $B$之间的优弧上， $\angle \mathit{MPN}=80°$，求 $\angle \mathit{ACB}$的度数；

（2）如图2，点 $C$在圆上运动，当 $\mathit{PC}$最大时，要使四边形 $\mathit{APBC}$为菱形， $\angle \mathit{APB}$的度数应为多少？请说明理由；

（3）若 $\mathit{PC}$交 $\odot O$于点 $D$，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含 $r$的式子表示）．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $O$、 $F$，连接 $\mathit{CE}$和 $\mathit{AF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$为菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求菱形 $\mathit{AECF}$的周长．

如图， $\mathit{AC}$是 $\angle \mathit{BAE}$的平分线，点 $D$是线段 $\mathit{AC}$上的一点， $\angle C=\angle E$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$．求证： $\mathit{BC}=\mathit{DE}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$交于点 $F$， $\mathit{BH}\perp \mathit{AB}$于点 $B$，点 $M$是 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{FM}$并延长交 $\mathit{BH}$于点 $H$．

（1）如图①所示，若 $\angle \mathit{ABC}=30°$，求证： $\mathit{DF}+\mathit{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}\mathit{BD}$；

（2）如图②所示，若 $\angle \mathit{ABC}=45°$，如图③所示，若 $\angle \mathit{ABC}=60°$（点 $M$与点 $D$重合），猜想线段 $\mathit{DF}$、 $\mathit{BH}$与 $\mathit{BD}$之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图， $\mathit{BD}$是正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线，线段 $\mathit{BC}$在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为 $\mathit{PQ}$，连接 $\mathit{PA}$，过点 $Q$作 $\mathit{QO}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $O$，连接 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OP}$．

（1）如图①所示，求证： $\mathit{AP}=\sqrt{2}\mathit{OA}$；

（2）如图②所示， $\mathit{PQ}$在 $\mathit{BC}$的延长线上，如图③所示， $\mathit{PQ}$在 $\mathit{BC}$的反向延长线上，猜想线段 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OA}$之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图，一次函数 $y=\frac{3}{4}x+6$的图象交 $x$轴于点 $A$、交 $y$轴于点 $B$， $\angle \mathit{ABO}$的平分线交 $x$轴于点 $C$，过点 $C$作直线 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $D$，交 $y$轴于点 $E$．

（1）求直线 $\mathit{CE}$的解析式；

（2）在线段 $\mathit{AB}$上有一动点 $P$（不与点 $A$， $B$重合），过点 $P$分别作 $\mathit{PM}\perp x$轴， $\mathit{PN}\perp y$轴，垂足为点 $M$、 $N$，是否存在点 $P$，使线段 $\mathit{MN}$的长最小？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

$\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{ABC}=\alpha$，过点 $A$作直线 $\mathit{MN}$，使 $\mathit{MN}//\mathit{BC}$，点 $D$在直线 $\mathit{MN}$上，作射线 $\mathit{BD}$，将射线 $\mathit{BD}$绕点 $B$顺时针旋转角 $\alpha$后交直线 $\mathit{AC}$于点 $E$．

（1）如图①，当 $\alpha =60°$，且点 $D$在射线 $\mathit{AN}$上时，直接写出线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{AE}$的数量关系．

（2）如图②，当 $\alpha =45°$，且点 $D$在射线 $\mathit{AN}$上时，直写出线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AE}$的数量关系，并说明理由．

（3）当 $\alpha =30°$时，若点 $D$在射线 $\mathit{AM}$上， $\angle \mathit{ABE}=15°$， $\mathit{AD}=\sqrt{3}-1$，请直接写出线段 $\mathit{AE}$的长度．

已知：如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $O$， $F$分别为 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{OE}$， $\mathit{OF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta DCF}$；

（2）当 $\mathit{AB}$与 $\mathit{BC}$满足什么关系时，四边形 $\mathit{AEOF}$是正方形？请说明理由．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，以 $\mathit{CA}$为边在 $\angle \mathit{ACB}$的另一侧作 $\angle \mathit{ACM}=\angle \mathit{ACB}$，点 $D$为射线 $\mathit{BC}$上任意一点，在射线 $\mathit{CM}$上截取 $\mathit{CE}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{DE}$、 $\mathit{AE}$．

（1）如图1，当点 $D$落在线段 $\mathit{BC}$的延长线上时，直接写出 $\angle \mathit{ADE}$的度数；

（2）如图2，当点 $D$落在线段 $\mathit{BC}$（不含边界）上时， $\mathit{AC}$与 $\mathit{DE}$交于点 $F$，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{AB}=6$，求 $\mathit{CF}$的最大值．

已知：如图，平行四边形 $\mathit{ABCD}$，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $E$，点 $G$为 $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{CG}$， $\mathit{CG}$的延长线交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{FD}$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{AF}$；

（2）若 $\mathit{AG}=\mathit{AB}$， $\angle \mathit{BCD}=120°$，判断四边形 $\mathit{ACDF}$的形状，并证明你的结论．