初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{AB}$ 上的点， $\mathit{EF}\perp \mathit{EC}$ ，且 $\mathit{AE}=\mathit{CD}$ ．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{DE}$ ；

（2）若 $\mathit{DE}=\frac{2}{5}\mathit{AD}$ ，求 $\tan \angle \mathit{AFE}$ ．

如图，点 $D$ 是 $\mathit{AB}$ 上一点， $\mathit{DF}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ， $\mathit{DE}=\mathit{FE}$ ， $\mathit{FC}//\mathit{AB}$

求证： $\mathit{AE}=\mathit{CE}$ ．

如图，平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $E$、 $F$分别是边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$的中点，求证： $\angle \mathit{ABF}=\angle \mathit{CDE}$．

如图，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{MN}$折叠，顶点 $B$恰好与 $\mathit{CD}$边上的动点 $P$重合（点 $P$不与点 $C$， $D$重合），折痕为 $\mathit{MN}$，点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上，连接 $\mathit{MB}$， $\mathit{MP}$， $\mathit{BP}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{MN}$相交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BFN}\backsim \mathit{\Delta BCP}$；

（2）①在图2中，作出经过 $M$， $D$， $P$三点的 $\odot O$（要求保留作图痕迹，不写做法）；

②设 $\mathit{AB}=4$，随着点 $P$在 $\mathit{CD}$上的运动，若①中的 $\odot O$恰好与 $\mathit{BM}$， $\mathit{BC}$同时相切，求此时 $\mathit{DP}$的长．

如图，一次函数 $y=\frac{3}{4}x+6$的图象交 $x$轴于点 $A$、交 $y$轴于点 $B$， $\angle \mathit{ABO}$的平分线交 $x$轴于点 $C$，过点 $C$作直线 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $D$，交 $y$轴于点 $E$．

（1）求直线 $\mathit{CE}$的解析式；

（2）在线段 $\mathit{AB}$上有一动点 $P$（不与点 $A$， $B$重合），过点 $P$分别作 $\mathit{PM}\perp x$轴， $\mathit{PN}\perp y$轴，垂足为点 $M$、 $N$，是否存在点 $P$，使线段 $\mathit{MN}$的长最小？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知：如图，平行四边形 $\mathit{ABCD}$，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $E$，点 $G$为 $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{CG}$， $\mathit{CG}$的延长线交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{FD}$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{AF}$；

（2）若 $\mathit{AG}=\mathit{AB}$， $\angle \mathit{BCD}=120°$，判断四边形 $\mathit{ACDF}$的形状，并证明你的结论．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $O$、 $F$，连接 $\mathit{CE}$和 $\mathit{AF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$为菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求菱形 $\mathit{AECF}$的周长．

如图， $\mathit{AC}$是 $\angle \mathit{BAE}$的平分线，点 $D$是线段 $\mathit{AC}$上的一点， $\angle C=\angle E$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$．求证： $\mathit{BC}=\mathit{DE}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$交于点 $F$， $\mathit{BH}\perp \mathit{AB}$于点 $B$，点 $M$是 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{FM}$并延长交 $\mathit{BH}$于点 $H$．

（1）如图①所示，若 $\angle \mathit{ABC}=30°$，求证： $\mathit{DF}+\mathit{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}\mathit{BD}$；

（2）如图②所示，若 $\angle \mathit{ABC}=45°$，如图③所示，若 $\angle \mathit{ABC}=60°$（点 $M$与点 $D$重合），猜想线段 $\mathit{DF}$、 $\mathit{BH}$与 $\mathit{BD}$之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图， $\mathit{BD}$是正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线，线段 $\mathit{BC}$在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为 $\mathit{PQ}$，连接 $\mathit{PA}$，过点 $Q$作 $\mathit{QO}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $O$，连接 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OP}$．

（1）如图①所示，求证： $\mathit{AP}=\sqrt{2}\mathit{OA}$；

（2）如图②所示， $\mathit{PQ}$在 $\mathit{BC}$的延长线上，如图③所示， $\mathit{PQ}$在 $\mathit{BC}$的反向延长线上，猜想线段 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OA}$之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$是射线 $\mathit{CB}$上一点（点 $D$不与点 $B$重合），以 $\mathit{AD}$为斜边作等腰直角三角形 $\mathit{ADE}$（点 $E$和点 $C$在 $\mathit{AB}$的同侧），连接 $\mathit{CE}$．

（1）如图①，当点 $D$与点 $C$重合时，直接写出 $\mathit{CE}$与 $\mathit{AB}$的位置关系；

（2）如图②，当点 $D$与点 $C$不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当 $\angle \mathit{EAC}=15°$时，请直接写出 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{AB}}$的值．

已知，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$是 $\mathit{BC}$边上一点，连接 $\mathit{AD}$，分别以 $\mathit{CD}$和 $\mathit{AD}$为直角边作 $\text{Rt}\Delta \text{CDE}$和 $\text{Rt}\Delta \text{ADF}$，使 $\angle \mathit{DCE}=\angle \mathit{ADF}=90°$，点 $E$， $F$在 $\mathit{BC}$下方，连接 $\mathit{EF}$．

（1）如图1，当 $\mathit{BC}=\mathit{AC}$， $\mathit{CE}=\mathit{CD}$， $\mathit{DF}=\mathit{AD}$时，

求证：① $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{CDF}$，② $\mathit{BD}=\mathit{EF}$；

（2）如图2，当 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$， $\mathit{CE}=2\mathit{CD}$， $\mathit{DF}=2\mathit{AD}$时，猜想 $\mathit{BD}$和 $\mathit{EF}$之间的数量关系？并说明理由．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形，点 $E$在直线 $\mathit{AC}$上，连接 $\mathit{BE}$，以 $\mathit{BE}$为边作等边三角形 $\mathit{BEF}$，将线段 $\mathit{CE}$绕点 $C$顺时针旋转 $60°$，得到线段 $\mathit{CD}$，连接 $\mathit{AF}$、 $\mathit{AD}$、 $\mathit{ED}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta ACD}$；

（2）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，求证：四边形 $\mathit{ADEF}$是平行四边形；

（3）如图2，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$延长线上时，四边形 $\mathit{ADEF}$还是平行四边形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta DEC}$是两个大小不同的等腰直角三角形．

（1）如图①所示，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DB}$，试判断线段 $\mathit{AE}$和 $\mathit{DB}$的数量和位置关系，并说明理由；

（2）如图②所示，连接 $\mathit{DB}$，将线段 $\mathit{DB}$绕 $D$点顺时针旋转 $90°$到 $\mathit{DF}$，连接 $\mathit{AF}$，试判断线段 $\mathit{DE}$和 $\mathit{AF}$的数量和位置关系，并说明理由．

如图，已知 $\mathit{BA}=\mathit{AE}=\mathit{DC}$， $\mathit{AD}=\mathit{EC}$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AE}$，垂足为 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DCA}\cong \mathit{\Delta EAC}$；

（2）只需添加一个条件，即　　，可使四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形．请加以证明．