如图， 和 是有公共顶点的等腰直角三角形， ，点 为射线 ， 的交点．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，把 绕点 旋转，当 时，求 的长；
如图，在平行四边形 中， 、 分别是 、 的中点， ，垂足为 ， ，垂足为 ， 与 相交于点 ．
（1）证明： ．
（2）若 ，求四边形 的对角线 的长．
如图，在矩形 中， ， ，点 是 边上的点， ，连接 ， 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，求 的值；
（3）连接 交 于点 ，求 的值．
如图，在矩形 中，点 在边 上，点 在 的延长线上，且 ．
求证：（1） ；
（2）四边形 是平行四边形．
问题背景：如图1，等腰 中， ， ，作 于点 ，则 为 的中点， ，于是 ；
迁移应用：如图2， 和 都是等腰三角形， ， ， ， 三点在同一条直线上，连接 ．
①求证： ；
②请直接写出线段 ， ， 之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形 中， ，在 内作射线 ，作点 关于 的对称点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ， ．
①证明 是等边三角形；
②若 ， ，求 的长．
如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线 分别交 、 、 于点 、 、 ，连接 和 ．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）若 ， ，求菱形 的周长．
如图，在 中， ， 于点 ， 于点 ， 与 交于点 ， 于点 ，点 是 的中点，连接 并延长交 于点 ．
（1）如图①所示，若 ，求证： ；
（2）如图②所示，若 ，如图③所示，若 （点 与点 重合），猜想线段 、 与 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
四边形 是边长为4的正方形，点 在边 所在直线上，连接 ，以 为边，作正方形 （点 ，点 在直线 的同侧），连接 ．
（1）如图1，当点 与点 重合时，请直接写出 的长；
（2）如图2，当点 在线段 上时， ；
①求点 到 的距离；
②求 的长；
（3）若 ，请直接写出此时 的长．
如图， 中， 为钝角， ，点 是边 延长线上一点，以点 为顶点， 为边，在射线 下方作 ．
（1）在射线 上取点 ，连接 交线段 于点 ．
①如图1，若 ，请直接写出线段 与 的数量关系和位置关系；
②如图2，若 ，判断线段 与 的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图3，反向延长射线 ，交射线 于点 ，将 沿 方向平移，使顶点 落在点 处，记平移后的 为 ，将 绕点 顺时针旋转角 ， 交线段 于点 ， 交射线 于点 ，请直接写出线段 ， 与 之间的数量关系．
在 中， ， ，以 为边在 的另一侧作 ，点 为射线 上任意一点，在射线 上截取 ，连接 、 、 ．
（1）如图1，当点 落在线段 的延长线上时，直接写出 的度数；
（2）如图2，当点 落在线段 （不含边界）上时， 与 交于点 ，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若 ，求 的最大值．
如图，在边长为1的正方形 中， 是边 的中点，点 是边 上一点（与点 、 不重合），射线 与 的延长线交于点 ．
（1）求证： ；
（2）过点 作 交 于点 ，连接 ，当 时，
①求证：四边形 是平行四边形；
②请判断四边形 是否为菱形，并说明理由．
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