初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图， $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切于点 $B$， $\mathit{AO}$交 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{AO}$的延长线交 $\odot O$于点 $D$， $E$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BCD}}$上不与 $B$， $D$重合的点， $\sin A=\frac{1}{2}$．

（1）求 $\angle \mathit{BED}$的大小；

（2）若 $\odot O$的半径为3，点 $F$在 $\mathit{AB}$的延长线上，且 $\mathit{BF}=3\sqrt{3}$，求证： $\mathit{DF}$与 $\odot O$相切．

点 $P$是平行四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$所在直线上的一个动点（点 $P$不与点 $A$、 $C$重合），分别过点 $A$、 $C$向直线 $\mathit{BP}$作垂线，垂足分别为点 $E$、 $F$．点 $O$为 $\mathit{AC}$的中点．

（1）如图1，当点 $P$与点 $O$重合时，线段 $\mathit{OE}$和 $\mathit{OF}$的关系是　   　；

（2）当点 $P$运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图3，点 $P$在线段 $\mathit{OA}$的延长线上运动，当 $\angle \mathit{OEF}=30°$时，试探究线段 $\mathit{CF}$、 $\mathit{AE}$、 $\mathit{OE}$之间的关系．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 上的两点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$ ．连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{DF}$ ， $\mathit{BE}$ ， $\mathit{BF}$ ．

（1）证明： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta CBF}$ ．

（2）若 $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$ ， $\mathit{AE}=2$ ，求四边形 $\mathit{BEDF}$ 的周长．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转得到 $\mathit{\Delta DEC}$，点 $D$落在线段 $\mathit{AB}$上，连接 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{DC}$平分 $\angle \mathit{ADE}$；

（2）试判断 $\mathit{BE}$与 $\mathit{AB}$的位置关系，并说明理由；

（3）若 $\mathit{BE}=\mathit{BD}$，求 $\tan \angle \mathit{ABC}$的值．

四边形 $\mathit{ABCD}$是边长为2的正方形， $E$是 $\mathit{AB}$的中点，连结 $\mathit{DE}$，点 $F$是射线 $\mathit{BC}$上一动点（不与点 $B$重合），连结 $\mathit{AF}$，交 $\mathit{DE}$于点 $G$．

（1）如图1，当点 $F$是 $\mathit{BC}$边的中点时，求证： $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta DAE}$；

（2）如图2，当点 $F$与点 $C$重合时，求 $\mathit{AG}$的长；

（3）在点 $F$运动的过程中，当线段 $\mathit{BF}$为何值时， $\mathit{AG}=\mathit{AE}$？请说明理由．

如图，线段 $\mathit{AB}=8$，射线 $\mathit{BG}\perp \mathit{AB}$， $P$为射线 $\mathit{BG}$上一点，以 $\mathit{AP}$为边作正方形 $\mathit{APCD}$，且点 $C$、 $D$与点 $B$在 $\mathit{AP}$两侧，在线段 $\mathit{DP}$上取一点 $E$，使 $\angle \mathit{EAP}=\angle \mathit{BAP}$，直线 $\mathit{CE}$与线段 $\mathit{AB}$相交于点 $F$（点 $F$与点 $A$、 $B$不重合）．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEP}\cong \mathit{\Delta CEP}$；

（2）判断 $\mathit{CF}$与 $\mathit{AB}$的位置关系，并说明理由；

（3）求 $\mathit{\Delta AEF}$的周长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$为弦， $\angle \mathit{BA}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$，过点 $D$的切线交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $E$．

求证：（1） $\mathit{DE}\perp \mathit{AE}$；

（2） $\mathit{AE}+\mathit{CE}=\mathit{AB}$．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．

我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具 $--$三分角器．图1是它的示意图，其中 $\mathit{AB}$与半圆 $O$的直径 $\mathit{BC}$在同一直线上，且 $\mathit{AB}$的长度与半圆的半径相等； $\mathit{DB}$与 $\mathit{AC}$垂直于点 $B$， $\mathit{DB}$足够长．

使用方法如图2所示，若要把 $\angle \mathit{MEN}$三等分，只需适当放置三分角器，使 $\mathit{DB}$经过 $\angle \mathit{MEN}$的顶点 $E$，点 $A$落在边 $\mathit{EM}$上，半圆 $O$与另一边 $\mathit{EN}$恰好相切，切点为 $F$，则 $\mathit{EB}$， $\mathit{EO}$就把 $\angle \mathit{MEN}$三等分了．

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．

已知：如图2，点 $A$， $B$， $O$， $C$在同一直线上， $\mathit{EB}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $B$，　　．

求证：　　．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．

如图， $\mathit{AC}$是 $\angle \mathit{BAE}$的平分线，点 $D$是线段 $\mathit{AC}$上的一点， $\angle C=\angle E$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$．求证： $\mathit{BC}=\mathit{DE}$．

如图①， $\mathit{\Delta AOB}\cong \mathit{\Delta COD}$，延长 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{BE}$；

（2）将两个三角形绕点 $O$旋转，当 $\angle \mathit{AEC}=90°$时（如图② $)$，连接 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$．取 $\mathit{BC}$的中点 $F$，连接 $\mathit{EF}$，则线段 $\mathit{EF}$、 $\mathit{AD}$的数量关系为　　，位置关系为　　；

（3）将图②中的线段 $\mathit{EB}$， $\mathit{ED}$同时绕点 $E$顺时针方向旋转到图③所示位置，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$，取 $\mathit{BC}$的中点 $F$，连接 $\mathit{EF}$，请你判断（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

已知：如图①，将 $\angle D=60°$的菱形 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{AC}$剪开，将 $\mathit{\Delta ADC}$沿射线 $\mathit{DC}$方向平移，得到 $\mathit{\Delta BCE}$，点 $M$为边 $\mathit{BC}$上一点（点 $M$不与点 $B$、点 $C$重合），将射线 $\mathit{AM}$绕点 $A$逆时针旋转 $60°$，与 $\mathit{EB}$的延长线交于点 $N$，连接 $\mathit{MN}$．

（1）①求证： $\angle \mathit{ANB}=\angle \mathit{AMC}$；

②探究 $\mathit{\Delta AMN}$的形状；

（2）如图②，若菱形 $\mathit{ABCD}$变为正方形 $\mathit{ABCD}$，将射线 $\mathit{AM}$绕点 $A$逆时针旋转 $45°$，原题其他条件不变，（1）中的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．

如图，点 $A$、 $D$、 $C$、 $F$在同一条直线上， $\mathit{AD}=\mathit{CF}$， $\mathit{AB}=\mathit{DE}$， $\mathit{BC}=\mathit{EF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DEF}$；

（2）若 $\angle A=55°$， $\angle B=88°$，求 $\angle F$的度数．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{BCD}$中， $\angle \mathit{CBD}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{BD}$，点 $A$在 $\mathit{CB}$的延长线上，且 $\mathit{BA}=\mathit{BC}$，点 $E$在直线 $\mathit{BD}$上移动，过点 $E$作射线 $\mathit{EF}\perp \mathit{EA}$，交 $\mathit{CD}$所在直线于点 $F$．

（1）当点 $E$在线段 $\mathit{BD}$上移动时，如图（1）所示，求证： $\mathit{BC}-\mathit{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{DF}$．

（2）当点 $E$在直线 $\mathit{BD}$上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{DE}$与 $\mathit{DF}$又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．