初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，已知 $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{AC}=\mathit{AE}$， $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{DAC}$．

求证： $\angle C=\angle E$．

已知：如图， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{DB}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{AB}=\mathit{DC}$ ， $\angle \mathit{ABO}=\angle \mathit{DCO}$ ．

求证：（1） $\mathit{\Delta ABO}\cong \mathit{\Delta DCO}$ ；

（2） $\angle \mathit{OBC}=\angle \mathit{OCB}$ ．

如图， $\mathit{EF}=\mathit{BC}$， $\mathit{DF}=\mathit{AC}$， $\mathit{DA}=\mathit{EB}$．求证： $\angle F=\angle C$．

在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=90°$， $\mathit{AM}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的角平分线，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AC}$于点 $N$， $\angle \mathit{EMF}=135°$．将 $\angle \mathit{EMF}$绕点 $M$旋转，使 $\angle \mathit{EMF}$的两边交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$，交直线 $\mathit{AC}$于点 $F$，请解答下列问题：

（1）当 $\angle \mathit{EMF}$绕点 $M$旋转到如图①的位置时，求证： $\mathit{BE}+\mathit{CF}=\mathit{BM}$；

（2）当 $\angle \mathit{EMF}$绕点 $M$旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{BM}$之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下， $\tan \angle \mathit{BEM}=\sqrt{3}$， $\mathit{AN}=\sqrt{2}+1$，则 $\mathit{BM}=$　　， $\mathit{CF}=$　　．

已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$边上，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{AD}$交于点 $P$，设 $\mathit{AC}=\mathit{kBD}$， $\mathit{CD}=\mathit{kAE}$， $k$为常数，试探究 $\angle \mathit{APE}$的度数：

（1）如图1，若 $k=1$，则 $\angle \mathit{APE}$的度数为　　；

（2）如图2，若 $k=\sqrt{3}$，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出 $\angle \mathit{APE}$的度数．

（3）如图3，若 $k=\sqrt{3}$，且 $D$、 $E$分别在 $\mathit{CB}$、 $\mathit{CA}$的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{AE}$ 并延长交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $\mathit{BF}$ ， $\mathit{AC}$ ，若 $\mathit{AD}=\mathit{AF}$ ，求证：四边形 $\mathit{ABFC}$ 是矩形．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$是边 $\mathit{BC}$的中点，连结 $\mathit{AD}$并延长到点 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连结 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}\cong \mathit{\Delta ECD}$；

（2）若 $\mathit{\Delta ABD}$的面积为5，求 $\mathit{\Delta ACE}$的面积．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．

如图．已知 $\mathit{AB}=\mathit{DC}$ ， $\angle A=\angle D$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{DB}$ 相交于点 $O$ ，求证： $\angle \mathit{OBC}=\angle \mathit{OCB}$ ．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．

如图， $\mathit{AC}$是 $\angle \mathit{BAE}$的平分线，点 $D$是线段 $\mathit{AC}$上的一点， $\angle C=\angle E$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$．求证： $\mathit{BC}=\mathit{DE}$．

已知： $\odot O$是正方形 $\mathit{ABCD}$的外接圆，点 $E$在 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$上，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{DE}$，点 $F$在 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$上连接 $\mathit{BF}$、 $\mathit{DF}$， $\mathit{BF}$与 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DA}$分别交于点 $G$、点 $H$，且 $\mathit{DA}$平分 $\angle \mathit{EDF}$．

（1）如图1，求证： $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{DHG}$；

（2）如图2，在线段 $\mathit{AH}$上取一点 $N$（点 $N$不与点 $A$、点 $H$重合），连接 $\mathit{BN}$交 $\mathit{DE}$于点 $L$，过点 $H$作 $\mathit{HK}//\mathit{BN}$交 $\mathit{DE}$于点 $K$，过点 $E$作 $\mathit{EP}\perp \mathit{BN}$，垂足为点 $P$，当 $\mathit{BP}=\mathit{HF}$时，求证： $\mathit{BE}=\mathit{HK}$；

（3）如图3，在（2）的条件下，当 $3\mathit{HF}=2\mathit{DF}$时，延长 $\mathit{EP}$交 $\odot O$于点 $R$，连接 $\mathit{BR}$，若 $\mathit{\Delta BER}$的面积与 $\mathit{\Delta DHK}$的面积的差为 $\frac{7}{4}$，求线段 $\mathit{BR}$的长．

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B=\angle C=90°$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$， $\mathit{CD}=1$．以 $\mathit{AD}$为腰作等腰 $\mathit{\Delta ADE}$，使 $\angle \mathit{ADE}=90°$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{DC}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $F$．请画出图形，并直接写出 $\mathit{AF}$的长．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A$的坐标为 $(0,2)$，点 $B$的坐标为 $(1,0)$，连结 $\mathit{AB}$，以 $\mathit{AB}$为边在第一象限内作正方形 $\mathit{ABCD}$，直线 $\mathit{BD}$交双曲线 $y==\frac{k}{x}(k\ne 0)$于 $D$、 $E$两点，连结 $\mathit{CE}$，交 $x$轴于点 $F$．

（1）求双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$和直线 $\mathit{DE}$的解析式．（2）求 $\mathit{\Delta DEC}$的面积．

【问题解决】

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点 $P$是正方形 $\mathit{ABCD}$内一点， $\mathit{PA}=1$， $\mathit{PB}=2$， $\mathit{PC}=3$．你能求出 $\angle \mathit{APB}$的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将 $\mathit{\Delta BPC}$绕点 $B$逆时针旋转 $90°$，得到△ $\mathit{BP}\text{'}A$，连接 $\mathit{PP}\text{'}$，求出 $\angle \mathit{APB}$的度数；

思路二：将 $\mathit{\Delta APB}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$，得到△ $C{P}^{\text{'}}B$，连接 $\mathit{PP}\text{'}$，求出 $\angle \mathit{APB}$的度数．

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

【类比探究】

如图2，若点 $P$是正方形 $\mathit{ABCD}$外一点， $\mathit{PA}=3$， $\mathit{PB}=1$， $\mathit{PC}=\sqrt{11}$，求 $\angle \mathit{APB}$的度数．