初中数学三角形解答题

如图，已知 $\mathit{BD}$是矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段 $\mathit{BD}$的垂直平分线，分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$于 $E$、 $F$（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，问四边形 $\mathit{BEDF}$是什么四边形？请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中， $O$为坐标原点，点 $A$的坐标为 $(5,0)$，菱形 $\mathit{OABC}$的顶点 $B$， $C$都在第一象限， $\tan \angle \mathit{AOC}=\frac{4}{3}$，将菱形绕点 $A$按顺时针方向旋转角 $\alpha (0°<\angle \alpha <\angle \mathit{AOC})$得到菱形 $\mathit{FADE}$（点 $O$的对应点为点 $F)$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{OC}$交于点 $G$，连接 $\mathit{AG}$．

（1）求点 $B$的坐标．

（2）当 $\mathit{OG}=4$时，求 $\mathit{AG}$的长．

（3）求证： $\mathit{GA}$平分 $\angle \mathit{OGE}$．

（4）连接 $\mathit{BD}$并延长交 $x$轴于点 $P$，当点 $P$的坐标为 $(12,0)$时，求点 $G$的坐标．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为 $\mathit{BC}$上一点， $F$为 $\mathit{DE}$的中点，且 $\angle \mathit{BFC}=90°$．

（1）当 $E$为 $\mathit{BC}$中点时，求证： $\mathit{\Delta BCF}\cong \mathit{\Delta DEC}$；

（2）当 $\mathit{BE}=2\mathit{EC}$时，求 $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{BC}}$的值；

（3）设 $\mathit{CE}=1$， $\mathit{BE}=n$，作点 $C$关于 $\mathit{DE}$的对称点 $C\text{'}$，连接 $\mathit{FC}\text{'}$， $\mathit{AF}$，若点 $C\text{'}$到 $\mathit{AF}$的距离是 $\frac{2\sqrt{10}}{5}$，求 $n$的值．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为 $\mathit{BC}$上一点， $F$为 $\mathit{DE}$的中点，且 $\angle \mathit{BFC}=90°$．

（1）当 $E$为 $\mathit{BC}$中点时，求证： $\mathit{\Delta BCF}\cong \mathit{\Delta DEC}$；

（2）当 $\mathit{BE}=2\mathit{EC}$时，求 $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{BC}}$的值；

（3）设 $\mathit{CE}=1$， $\mathit{BE}=n$，作点 $C$关于 $\mathit{DE}$的对称点 $C\text{'}$，连接 $\mathit{FC}\text{'}$， $\mathit{AF}$，若点 $C\text{'}$到 $\mathit{AF}$的距离是 $\frac{2\sqrt{10}}{5}$，求 $n$的值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $O$为坐标原点，点 $B$的坐标为 $(4,3)$，点 $A$、 $C$在坐标轴上，点 $P$在 $\mathit{BC}$边上，直线 $l_1:y=2x+3$，直线 $l_2:y=2x-3$．

（1）分别求直线 $l_1$与 $x$轴，直线 $l_2$与 $\mathit{AB}$的交点坐标；

（2）已知点 $M$在第一象限，且是直线 $l_2$上的点，若 $\mathit{\Delta APM}$是等腰直角三角形，求点 $M$的坐标；

（3）我们把直线 $l_1$和直线 $l_2$上的点所组成的图形为图形 $F$．已知矩形 $\mathit{ANPQ}$的顶点 $N$在图形 $F$上， $Q$是坐标平面内的点，且 $N$点的横坐标为 $x$，请直接写出 $x$的取值范围（不用说明理由）．

对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点 $A$的斜平移，如点 $P(2,3)$经1次斜平移后的点的坐标为 $(3,5)$，已知点 $A$的坐标为 $(1,0)$．

（1）分别写出点 $A$经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．

（2）如图，点 $M$是直线 $l$上的一点，点 $A$关于点 $M$的对称点为点 $B$，点 $B$关于直线 $l$的对称点为点 $C$．

①若 $A$、 $B$、 $C$三点不在同一条直线上，判断 $\mathit{\Delta ABC}$是否是直角三角形？请说明理由．

②若点 $B$由点 $A$经 $n$次斜平移后得到，且点 $C$的坐标为 $(7,6)$，求出点 $B$的坐标及 $n$的值．

如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．

（1）若固定三根木条 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$不动， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=2\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=5\mathit{cm}$，如图，量得第四根木条 $\mathit{CD}=5\mathit{cm}$，判断此时 $\angle B$与 $\angle D$是否相等，并说明理由．

（2）若固定二根木条 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$不动， $\mathit{AB}=2\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=5\mathit{cm}$，量得木条 $\mathit{CD}=5\mathit{cm}$， $\angle B=90°$，写出木条 $\mathit{AD}$的长度可能取得的一个值（直接写出一个即可）

（3）若固定一根木条 $\mathit{AB}$不动， $\mathit{AB}=2\mathit{cm}$，量得木条 $\mathit{CD}=5\mathit{cm}$，如果木条 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的长度不变，当点 $D$移到 $\mathit{BA}$的延长线上时，点 $C$也在 $\mathit{BA}$的延长线上；当点 $C$移到 $\mathit{AB}$的延长线上时，点 $A$、 $C$、 $D$能构成周长为 $30\mathit{cm}$的三角形，求出木条 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的长度．

我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

（1）概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

（2）问题探究：

如图1，在等邻角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{DAB}=\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的中垂线恰好交于 $\mathit{AB}$边上一点 $P$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$，试探究 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的数量关系，并说明理由；

（3）应用拓展：

如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$与 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$中， $\angle C=\angle D=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{BD}=3$， $\mathit{AB}=5$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$绕着点 $A$顺时针旋转角 $\alpha (0°<\angle \alpha <\angle \mathit{BAC})$得到 $\mathit{Rt}$△ $\mathit{AB}\text{'}D\text{'}$（如图 $3)$，当凸四边形 $\mathit{AD}\text{'}\mathit{BC}$为等邻角四边形时，求出它的面积．

数学活动课上，某学习小组对有一内角为 $120°$的平行四边形 $\mathit{ABCD}(\angle \mathit{BAD}=120°)$进行探究：将一块含 $60°$的直角三角板如图放置在平行四边形 $\mathit{ABCD}$所在平面内旋转，且 $60°$角的顶点始终与点 $C$重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$于点 $E$， $F$（不包括线段的端点）．

（1）初步尝试

如图1，若 $\mathit{AD}=\mathit{AB}$，求证：① $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta ACF}$，② $\mathit{AE}+\mathit{AF}=\mathit{AC}$；

（2）类比发现

如图2，若 $\mathit{AD}=2\mathit{AB}$，过点 $C$作 $\mathit{CH}\perp \mathit{AD}$于点 $H$，求证： $\mathit{AE}=2\mathit{FH}$；

（3）深入探究

如图3，若 $\mathit{AD}=3\mathit{AB}$，探究得： $\frac{\mathit{AE}+3\mathit{AF}}{\mathit{AC}}$的值为常数 $t$，则 $t=$　　．

在线段 $\mathit{AB}$的同侧作射线 $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$，若 $\angle \mathit{MAB}$与 $\angle \mathit{NBA}$的平分线分别交射线 $\mathit{BN}$， $\mathit{AM}$于点 $E$， $F$， $\mathit{AE}$和 $\mathit{BF}$交于点 $P$．如图，点点同学发现当射线 $\mathit{AM}$， $\mathit{BN}$交于点 $C$；且 $\angle \mathit{ACB}=60°$时，有以下两个结论：

① $\angle \mathit{APB}=120°$；② $\mathit{AF}+\mathit{BE}=\mathit{AB}$．

那么，当 $\mathit{AM}//\mathit{BN}$时：

（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出 $\angle \mathit{APB}$的度数，写出 $\mathit{AF}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{AB}$长度之间的等量关系，并给予证明；

（2）设点 $Q$为线段 $\mathit{AE}$上一点， $\mathit{QB}=5$，若 $\mathit{AF}+\mathit{BE}=16$，四边形 $\mathit{ABEF}$的面积为 $32\sqrt{3}$，求 $\mathit{AQ}$的长．

如图，已知四边形 $\mathit{ABCD}$和四边形 $\mathit{DEFG}$为正方形，点 $E$在线段 $\mathit{DC}$上，点 $A$， $D$， $G$在同一直线上，且 $\mathit{AD}=3$， $\mathit{DE}=1$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{CG}$， $\mathit{AE}$，并延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{CG}$于点 $H$．

（1）求 $\sin \angle \mathit{EAC}$的值．

（2）求线段 $\mathit{AH}$的长．

如图，已知 $\angle \mathit{AOB}=60°$，在 $\angle \mathit{AOB}$的平分线 $\mathit{OM}$上有一点 $C$，将一个 $120°$角的顶点与点 $C$重合，它的两条边分别与直线 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OB}$相交于点 $D$、 $E$．

（1）当 $\angle \mathit{DCE}$绕点 $C$旋转到 $\mathit{CD}$与 $\mathit{OA}$垂直时（如图 $1)$，请猜想 $\mathit{OE}+\mathit{OD}$与 $\mathit{OC}$的数量关系，并说明理由；

（2）当 $\angle \mathit{DCE}$绕点 $C$旋转到 $\mathit{CD}$与 $\mathit{OA}$不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）当 $\angle \mathit{DCE}$绕点 $C$旋转到 $\mathit{CD}$与 $\mathit{OA}$的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段 $\mathit{OD}$、 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OC}$之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

已知：如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $M$是斜边 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{MD}//\mathit{BC}$，且 $\mathit{MD}=\mathit{CM}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta MED}\backsim \mathit{\Delta BCA}$；

（2）求证： $\mathit{\Delta AMD}\cong \mathit{\Delta CMD}$；

（3）设 $\mathit{\Delta MDE}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{BCMD}$的面积为 $S_2$，当 $S_2=\frac{17}{5}{S}_1$时，求 $\cos \angle \mathit{ABC}$的值．

已知：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $P$是底边 $\mathit{BC}$上一点且满足 $\mathit{PA}=\mathit{PB}$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta PAB}$的外接圆，过点 $P$作 $\mathit{PD}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{PD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=8$， $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $\odot O$的半径．

如图， $\mathit{AB}$为圆 $O$的直径， $C$为圆 $O$上一点， $D$为 $\mathit{BC}$延长线一点，且 $\mathit{BC}=\mathit{CD}$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AD}$于点 $E$．

（1）求证：直线 $\mathit{EC}$为圆 $O$的切线；

（2）设 $\mathit{BE}$与圆 $O$交于点 $F$， $\mathit{AF}$的延长线与 $\mathit{CE}$交于点 $P$，已知 $\angle \mathit{PCF}=\angle \mathit{CBF}$， $\mathit{PC}=5$， $\mathit{PF}=4$，求 $\sin \angle \mathit{PEF}$的值．