初中数学三角形解答题

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上， $\angle \mathit{EAD}=\angle \mathit{EDA}$，点 $F$为 $\mathit{DE}$的延长线与 $\mathit{AC}$的延长线的交点．

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{EF}$；

（2）判断 $\mathit{BD}$和 $\mathit{CF}$的数量关系，并说明理由；

（3）若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AE}=\sqrt{5}$，求 $\mathit{BD}$的长．

如图，在直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $H$是 $\mathit{\Delta ABC}$的内心，

$\mathit{AH}$的延长线和三角形 $\mathit{ABC}$的外接圆 $O$相交于点 $D$，连接 $\mathit{DB}$．

（1）求证： $\mathit{DH}=\mathit{DB}$；

（2）过点 $D$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$的延长线分别于点 $E$、 $F$，已知 $\mathit{CE}=1$，圆 $O$的直径为5．

①求证： $\mathit{EF}$为圆 $O$的切线；

②求 $\mathit{DF}$的长．

如图，点 $E$、 $F$分别是矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$上一点，若 $\mathit{AE}=\mathit{DC}=2\mathit{ED}$，且 $\mathit{EF}\perp \mathit{EC}$．

（1）求证：点 $F$为 $\mathit{AB}$的中点；

（2）延长 $\mathit{EF}$与 $\mathit{CB}$的延长线相交于点 $H$，连接 $\mathit{AH}$，已知 $\mathit{ED}=2$，求 $\mathit{AH}$的值．

阅读下列材料：

已知：如图1，等边△ $A_1{A}_2{A}_3$内接于 $\odot O$，点 $P$是 $\stackrel{̂}{A_1{A}_2}$上的任意一点，连接 $P{A}_1$， $P{A}_2$， $P{A}_3$，可证： $P{A}_1+P{A}_2=P{A}_3$，从而得到： $\frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3}=\frac{1}{2}$是定值．

（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；

证明：如图1，作 $\angle P{A}_{1}M=60°$， $A_{1}M$交 $A_{2}P$的延长线于点 $M$．

$\because$△ $A_1{A}_2{A}_3$是等边三角形，

$\therefore \angle A_3{A}_1{A}_2=60°$，

$\therefore \angle A_3{A}_{1}P=\angle A_2{A}_{1}M$

又 $A_3{A}_1=A_2{A}_1$， $\angle A_1{A}_{3}P=\angle A_1{A}_{2}P$，

$\therefore$△ $A_1{A}_{3}P\cong$△ $A_1{A}_{2}M$

$\therefore P{A}_3=M{A}_2=P{A}_2+\mathit{PM}=P{A}_2+P{A}_1$．

$\therefore \frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3}=\frac{1}{2}$，是定值．

（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△ $A_1{A}_2{A}_3$”改为“正方形 $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$”，其余条件不变，请问： $\frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3+P{A}_4}$还是定值吗？为什么？

（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△ $A_1{A}_2{A}_3$”改为“正五边形 $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5$”，其余条件不变，则 $\frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3+P{A}_4+P{A}_5}=$　　（只写出结果）．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，过点 $C$作 $\mathit{CE}//\mathit{AB}$，与过点 $A$的切线相交于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$．

（1）求证： $\mathit{AD}=\mathit{AE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=4$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，过 $B$点作 $\mathit{BM}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $M$，过 $D$点作 $\mathit{DN}\perp \mathit{AC}$于点 $F$，交 $\mathit{AB}$于点 $N$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BMDN}$是平行四边形；

（2）已知 $\mathit{AF}=12$， $\mathit{EM}=5$，求 $\mathit{AN}$的长．

如图1，在平面直角坐标系， $O$为坐标原点，点 $A(-1,0)$，点 $B(0,\sqrt{3})$．

（1）求 $\angle \mathit{BAO}$的度数；

（2）如图1，将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$顺时针旋转得△ $A\text{'}\mathit{OB}\text{'}$，当 $A\text{'}$恰好落在 $\mathit{AB}$边上时，设△ $\mathit{AB}\text{'}O$的面积为 $S_1$，△ $\mathit{BA}\text{'}O$的面积为 $S_2$， $S_1$与 $S_2$有何关系？为什么？

（3）若将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$顺时针旋转到如图2所示的位置， $S_1$与 $S_2$的关系发生变化了吗？证明你的判断．

两个城镇 $A$， $B$与一条公路 $\mathit{CD}$，一条河流 $\mathit{CE}$的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到 $A$， $B$的距离必须相等，到 $\mathit{CD}$和 $\mathit{CE}$的距离也必须相等，且在 $\angle \mathit{DCE}$的内部，请画出该山庄的位置 $P$．（不要求写作法，保留作图痕迹． $)$

如图，点 $E$， $F$分别在菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{DC}$， $\mathit{DA}$上，且 $\mathit{CE}=\mathit{AF}$．

求证： $\angle \mathit{ABF}=\angle \mathit{CBE}$．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}>\mathit{BC}$， $D$是 $\mathit{BC}$上一点，连接 $\mathit{AD}$，作 $\mathit{\Delta ADE}$，使 $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，且 $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{BAC}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$交 $\mathit{AB}$于 $F$，连接 $\mathit{FC}$．

（1）如图1．

①连接 $\mathit{BE}$，求证： $\mathit{\Delta AEB}\cong \mathit{\Delta ADC}:$

②若 $D$是线段 $\mathit{BC}$的中点，且 $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=4$，求 $\mathit{CF}$的长；

（2）如图2，若点 $D$在线段 $\mathit{BC}$的延长线上，且四边形 $\mathit{CDEF}$是矩形，当 $\mathit{AC}=m$， $\mathit{BC}=n$时，求 $\mathit{CD}$的长（用含 $m$， $n$的代数式表示）．

如图，已知点 $B$、 $E$、 $C$、 $F$在同一条直线上， $\mathit{AB}=\mathit{DE}$， $\angle A=\angle D$， $\mathit{AC}//\mathit{DF}$．求证： $\mathit{BE}=\mathit{CF}$．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BD}$为对角线， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BD}$，垂足分别为 $E$、 $F$，连接 $\mathit{AF}$、 $\mathit{CE}$．

求证： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{MN}$分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $M(6,0)$， $N(0$， $2\sqrt{3})$，等边 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$与原点 $O$重合， $\mathit{BC}$边落在 $x$轴正半轴上，点 $A$恰好落在线段 $\mathit{MN}$上，将等边 $\mathit{\Delta ABC}$从图1的位置沿 $x$轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$分别与线段 $\mathit{MN}$交于点 $E$， $F$（如图2所示），设 $\mathit{\Delta ABC}$平移的时间为 $t\left(s\right)$．

（1）等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为　　；

（2）在运动过程中，当 $t=$　　时， $\mathit{MN}$垂直平分 $\mathit{AB}$；

（3）若在 $\mathit{\Delta ABC}$开始平移的同时．点 $P$从 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线 $\mathit{BA}-\mathit{AC}$运动．当点 $P$运动到 $C$时即停止运动． $\mathit{\Delta ABC}$也随之停止平移．

①当点 $P$在线段 $\mathit{BA}$上运动时，若 $\mathit{\Delta PEF}$与 $\mathit{\Delta MNO}$相似．求 $t$的值；

②当点 $P$在线段 $\mathit{AC}$上运动时，设 $S_{\mathit{\Delta PEF}}=S$，求 $S$与 $t$的函数关系式，并求出 $S$的最大值及此时点 $P$的坐标．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$，垂足分别为 $E$， $F$， $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$分别与 $\mathit{BD}$交于点 $G$和 $H$，且 $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$．

（1）若 $\tan \angle \mathit{ABE}=2$，求 $\mathit{CF}$的长；

（2）求证： $\mathit{BG}=\mathit{DH}$．

如图，平分，，垂足为点，．

求证：是等腰三角形．