阅读下列材料：已知：如图1，等边△A1A2A3内接于⊙O，点

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
浏览 225

阅读下列材料：

已知：如图1，等边△ $A_{1} A_{2} A_{3}$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $P$ 是 $\hat{A_{1} A_{2}}$ 上的任意一点，连接 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $P A_{3}$ ，可证： $P A_{1} + P A_{2} = P A_{3}$ ，从而得到： $\frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3}} = \frac{1}{2}$ 是定值．

（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；

证明：如图1，作 $∠ P A_{1} M = 60 °$ ， $A_{1} M$ 交 $A_{2} P$ 的延长线于点 $M$ ．

$∵$ △ $A_{1} A_{2} A_{3}$ 是等边三角形，

$∴ ∠ A_{3} A_{1} A_{2} = 60 °$ ，

$∴ ∠ A_{3} A_{1} P = ∠ A_{2} A_{1} M$

又 $A_{3} A_{1} = A_{2} A_{1}$ ， $∠ A_{1} A_{3} P = ∠ A_{1} A_{2} P$ ，

$∴$ △ $A_{1} A_{3} P ≅$ △ $A_{1} A_{2} M$

$∴ P A_{3} = M A_{2} = P A_{2} + PM = P A_{2} + P A_{1}$ ．

$∴ \frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3}} = \frac{1}{2}$ ，是定值．

（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△ $A_{1} A_{2} A_{3}$ ”改为“正方形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ ”，其余条件不变，请问： $\frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3} + P A_{4}}$ 还是定值吗？为什么？

（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△ $A_{1} A_{2} A_{3}$ ”改为“正五边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}$ ”，其余条件不变，则 $\frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3} + P A_{4} + P A_{5}} =$ 　　（只写出结果）．

登录免费查看答案和解析

相关试题

（1）问题情境：如图（1），已知，锐角∠AOB内有一定点P，过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．将直线MN绕着点P旋转，旋转过程中△MON的面积存在最小值．请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．

方法探究:小明与小亮二人一起研究，一会儿，小明说有办法了．小亮问：“怎么解决？”小明画出了图（2）的四边形，说：“四边形ABCD中，AD//BC，取DC边的中点E，连结AE并延长交BC的延长线于点F．显然有△ADE≌△FCE，则S_{四边形ABCD}=S_△_ABF(S表示面积）．借助这图和图中的结论就可以解决了．”
请你照小明提供的方法完成“问题情境”这个问题．
（2）实际应用：如图（3），若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB 和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB = 70°，∠POB = 30°，OP= 4km，试求△MON 的面积．(结果精确到0.1km²)

（3）拓展延伸：如图（4），在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（，）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC 一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，则其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值是．

题型：未知
难度：未知

收藏答案/解析

无锡某校准备组织学生及学生家长到上海进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列高铁上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需6175元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需3150元；已知学生家长与教师的人数之比为2:1，无锡到上海的火车票价格（高铁学生票只有二等座可以打7.5折）如下表所示：

运行区间	票价
上车站	下车站	一等座	二等座
无锡	上海	95（元）	60（元）

（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．
（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？

题型：未知
难度：未知

收藏答案/解析

在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）一次，根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目．

（1）转动转盘①时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是；
（2）若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，请用树形图或列表法中的一种，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率．

题型：未知
难度：未知

收藏答案/解析

为了解某市今年九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分组（A：30分；B：29-27分；C：26-24分；D：23-18分；E：17-0分）统计如下：

根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）这次调查中，抽取的学生人数为多少？并将条形统计图补充完整；
（2）如果把成绩在24分以上（含24分）定为优秀，估计该市今年5000名九年级学生中，体育成绩为优秀的学生人数有多少人？

题型：未知
难度：未知

收藏答案/解析

图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上．

（1）以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到△A′B′C′；
（2）△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B′C″，并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积．

题型：未知
难度：未知

收藏答案/解析