阅读下列材料:
已知:如图1,等边△ A 1 A 2 A 3 内接于 ⊙ O ,点 P 是 A 1 A 2 ̂ 上的任意一点,连接 P A 1 , P A 2 , P A 3 ,可证: P A 1 + P A 2 = P A 3 ,从而得到: P A 1 + P A 2 P A 1 + P A 2 + P A 3 = 1 2 是定值.
(1)以下是小红的一种证明方法,请在方框内将证明过程补充完整;
证明:如图1,作 ∠ P A 1 M = 60 ° , A 1 M 交 A 2 P 的延长线于点 M .
∵ △ A 1 A 2 A 3 是等边三角形,
∴ ∠ A 3 A 1 A 2 = 60 ° ,
∴ ∠ A 3 A 1 P = ∠ A 2 A 1 M
又 A 3 A 1 = A 2 A 1 , ∠ A 1 A 3 P = ∠ A 1 A 2 P ,
∴ △ A 1 A 3 P ≅ △ A 1 A 2 M
∴ P A 3 = M A 2 = P A 2 + PM = P A 2 + P A 1 .
∴ P A 1 + P A 2 P A 1 + P A 2 + P A 3 = 1 2 ,是定值.
(2)延伸:如图2,把(1)中条件“等边△ A 1 A 2 A 3 ”改为“正方形 A 1 A 2 A 3 A 4 ”,其余条件不变,请问: P A 1 + P A 2 P A 1 + P A 2 + P A 3 + P A 4 还是定值吗?为什么?
(3)拓展:如图3,把(1)中条件“等边△ A 1 A 2 A 3 ”改为“正五边形 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ”,其余条件不变,则 P A 1 + P A 2 P A 1 + P A 2 + P A 3 + P A 4 + P A 5 = (只写出结果).
课堂上老师指出:若a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0,请判断该三角形的形状.小明在与同学一起合作探究这个问题时,说出了自己的猜想及理由,得到了老师的赞扬.请你写出小明的猜想和理由.因式分解的应用.
经营户小熊在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容:他共用116元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖,当天卖完.请你计算出小熊能赚多少钱? 菜品种 红辣椒 黄瓜 西红柿 茄子 批发价(元/公斤) 4 1.2 1.6 1.1 零售价(元/公斤) 5 1.4 2.0 1.3
如图所示,O是直线AB上一点,∠AOC=∠BOC,OC是∠AOD的平分线.(1)求∠COD的度数.(2)判断OD与AB的位置关系,并说出理由.
先化简,再求值:(a+2)(a﹣2)+a(1﹣a),其中a=3.
利用对称性可设计出美丽的图案.在边长为1的方格纸中,有如图所示的四边形(顶点都在格点上).(1)先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形,再作出你所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向旋转90°后的图形;(2)完成上述设计后,整个图案的面积等于.