初中数学三角形解答题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ，弦 $\mathit{MN}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，且 $\mathit{ME}=3$ ， $\mathit{AE}=4$ ， $\mathit{AM}=5$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求 $\odot O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 的长度．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，过 $B$点作 $\mathit{BM}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $M$，过 $D$点作 $\mathit{DN}\perp \mathit{AC}$于点 $F$，交 $\mathit{AB}$于点 $N$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BMDN}$是平行四边形；

（2）已知 $\mathit{AF}=12$， $\mathit{EM}=5$，求 $\mathit{AN}$的长．

如图1，在平面直角坐标系， $O$为坐标原点，点 $A(-1,0)$，点 $B(0,\sqrt{3})$．

（1）求 $\angle \mathit{BAO}$的度数；

（2）如图1，将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$顺时针旋转得△ $A\text{'}\mathit{OB}\text{'}$，当 $A\text{'}$恰好落在 $\mathit{AB}$边上时，设△ $\mathit{AB}\text{'}O$的面积为 $S_1$，△ $\mathit{BA}\text{'}O$的面积为 $S_2$， $S_1$与 $S_2$有何关系？为什么？

（3）若将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$顺时针旋转到如图2所示的位置， $S_1$与 $S_2$的关系发生变化了吗？证明你的判断．

问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AD}$是中线，求 $\mathit{AD}$的取值范围．她的做法是：延长 $\mathit{AD}$到 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{BE}$，证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$的判定定理是：　 　；

（2） $\mathit{AD}$的取值范围是　　；

方法运用：

（3）如图2， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线，在 $\mathit{AD}$上取一点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $E$，使 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$，求证： $\mathit{BF}=\mathit{AC}$．

（4）如图3，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{2}$，在 $\mathit{BD}$上取一点 $F$，以 $\mathit{BF}$为斜边作 $\text{Rt}\Delta \text{BEF}$，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BE}}=\frac{1}{2}$，点 $G$是 $\mathit{DF}$的中点，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{CG}$，求证： $\mathit{EG}=\mathit{CG}$．

两个城镇 $A$， $B$与一条公路 $\mathit{CD}$，一条河流 $\mathit{CE}$的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到 $A$， $B$的距离必须相等，到 $\mathit{CD}$和 $\mathit{CE}$的距离也必须相等，且在 $\angle \mathit{DCE}$的内部，请画出该山庄的位置 $P$．（不要求写作法，保留作图痕迹． $)$

如图，点 $E$， $F$分别在菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{DC}$， $\mathit{DA}$上，且 $\mathit{CE}=\mathit{AF}$．

求证： $\angle \mathit{ABF}=\angle \mathit{CBE}$．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$是它的两条切线，过 $\odot O$上一点 $E$作直线 $\mathit{DC}$，分别交 $\mathit{AM}$、 $\mathit{BN}$于点 $D$、 $C$，且 $\mathit{DA}=\mathit{DE}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $O{A}^2=\mathit{DE}·\mathit{CE}$．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}>\mathit{BC}$， $D$是 $\mathit{BC}$上一点，连接 $\mathit{AD}$，作 $\mathit{\Delta ADE}$，使 $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，且 $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{BAC}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$交 $\mathit{AB}$于 $F$，连接 $\mathit{FC}$．

（1）如图1．

①连接 $\mathit{BE}$，求证： $\mathit{\Delta AEB}\cong \mathit{\Delta ADC}:$

②若 $D$是线段 $\mathit{BC}$的中点，且 $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=4$，求 $\mathit{CF}$的长；

（2）如图2，若点 $D$在线段 $\mathit{BC}$的延长线上，且四边形 $\mathit{CDEF}$是矩形，当 $\mathit{AC}=m$， $\mathit{BC}=n$时，求 $\mathit{CD}$的长（用含 $m$， $n$的代数式表示）．

如图，已知点 $B$、 $E$、 $C$、 $F$在同一条直线上， $\mathit{AB}=\mathit{DE}$， $\angle A=\angle D$， $\mathit{AC}//\mathit{DF}$．求证： $\mathit{BE}=\mathit{CF}$．

如图，四边形 ABCD是菱形，点 E、 F分别在边 AB、 AD的延长线上，且 $\mathit{BE}＝\mathit{DF}$ ，连接 CE、 CF．求证： $\mathit{CE}＝\mathit{CF}$ ．

如图， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $\mathit{OA}=\mathit{OD}$ ， $\angle \mathit{ABO}=\angle \mathit{DCO}$ ， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 延长线上一点，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{CD}$ ，交 $\mathit{BD}$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证 $\mathit{\Delta AOB}\cong \mathit{\Delta DOC}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CE}=1$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图，过 $▱\mathit{ABCD}$对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的交点 $E$作两条互相垂直的直线，分别交边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DA}$于点 $P$、 $M$、 $Q$、 $N$．

（1）求证： $\mathit{\Delta PBE}\cong \mathit{\Delta QDE}$；

（2）顺次连接点 $P$、 $M$、 $Q$、 $N$，求证：四边形 $\mathit{PMQN}$是菱形．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BD}$为对角线， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BD}$，垂足分别为 $E$、 $F$，连接 $\mathit{AF}$、 $\mathit{CE}$．

求证： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{MN}$分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $M(6,0)$， $N(0$， $2\sqrt{3})$，等边 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$与原点 $O$重合， $\mathit{BC}$边落在 $x$轴正半轴上，点 $A$恰好落在线段 $\mathit{MN}$上，将等边 $\mathit{\Delta ABC}$从图1的位置沿 $x$轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$分别与线段 $\mathit{MN}$交于点 $E$， $F$（如图2所示），设 $\mathit{\Delta ABC}$平移的时间为 $t\left(s\right)$．

（1）等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为　　；

（2）在运动过程中，当 $t=$　　时， $\mathit{MN}$垂直平分 $\mathit{AB}$；

（3）若在 $\mathit{\Delta ABC}$开始平移的同时．点 $P$从 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线 $\mathit{BA}-\mathit{AC}$运动．当点 $P$运动到 $C$时即停止运动． $\mathit{\Delta ABC}$也随之停止平移．

①当点 $P$在线段 $\mathit{BA}$上运动时，若 $\mathit{\Delta PEF}$与 $\mathit{\Delta MNO}$相似．求 $t$的值；

②当点 $P$在线段 $\mathit{AC}$上运动时，设 $S_{\mathit{\Delta PEF}}=S$，求 $S$与 $t$的函数关系式，并求出 $S$的最大值及此时点 $P$的坐标．

如图，在 $6\times 4$的方格纸 $\mathit{ABCD}$中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点 $A$， $B$， $C$， $D$重合．

（1）在图1中画格点线段 $\mathit{EF}$， $\mathit{GH}$各一条，使点 $E$， $F$， $G$， $H$分别落在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$上，且 $\mathit{EF}=\mathit{GH}$， $\mathit{EF}$不平行 $\mathit{GH}$．

（2）在图2中画格点线段 $\mathit{MN}$， $\mathit{PQ}$各一条，使点 $M$， $N$， $P$， $Q$分别落在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$上，且 $\mathit{PQ}=\sqrt{5}\mathit{MN}$．