初中数学三角形解答题

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$，垂足分别为 $E$， $F$， $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$分别与 $\mathit{BD}$交于点 $G$和 $H$，且 $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$．

（1）若 $\tan \angle \mathit{ABE}=2$，求 $\mathit{CF}$的长；

（2）求证： $\mathit{BG}=\mathit{DH}$．

如图，平分，，垂足为点，．

求证：是等腰三角形．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta DCE}$中， $\mathit{AC}=\mathit{DE}$， $\angle B=\angle \mathit{DCE}=90°$，点 $A$， $C$， $D$依次在同一直线上，且 $\mathit{AB}//\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DCE}$．

（2）连结 $\mathit{AE}$，当 $\mathit{BC}=5$， $\mathit{AC}=12$时，求 $\mathit{AE}$的长．

如图， 在 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以 $\mathit{AC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $E$为 $\mathit{BC}$的中点， 连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $F$．

（1） 求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2） 若 $\mathit{CF}=2$， $\mathit{DF}=4$，求 $\odot O$直径的长 ．

如图，已知 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$， $\mathit{BD}$和 $\mathit{CE}$相交于点 $O$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}\cong \mathit{\Delta ACE}$；

（2）判断 $\mathit{\Delta BOC}$的形状，并说明理由．

如图， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AB}$，垂足分别是点 $E$、 $F$， $\mathit{DE}=\mathit{CF}$， $\mathit{AE}=\mathit{BF}$，求证： $\mathit{AC}//\mathit{BD}$．

化简求值： $(1-\frac{3a-10}{a-2})÷\left(\frac{a-4}{a^2-4a+4}\right)$，其中 $a$与2，3构成三角形的三边，且 $a$为整数．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ，以点 $C$ 为圆心， $\mathit{CB}$ 为半径作 $\odot C$ ， $D$ 为 $\odot C$ 上一点，连接 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$ ， $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ．

（1）求证： $\mathit{AD}$ 是 $\odot C$ 的切线；

（2）延长 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 相交于点 $E$ ，若 $S_{\mathit{\Delta EDC}}=2S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，求 $\tan \angle \mathit{BAC}$ 的值．

如图，点 $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$延长线上一点，连接 $\mathit{DE}$，过顶点 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{DE}$，垂足为 $F$， $\mathit{BF}$分别交 $\mathit{AC}$于 $H$，交 $\mathit{CD}$于 $G$．

（1）求证： $\mathit{BG}=\mathit{DE}$；

（2）若点 $G$为 $\mathit{CD}$的中点，求 $\frac{\mathit{HG}}{\mathit{GF}}$的值．

如图，点 $A$、 $F$、 $C$、 $D$在同一条直线上，已知 $\mathit{AF}=\mathit{DC}$， $\angle A=\angle D$， $\mathit{BC}//\mathit{EF}$，求证： $\mathit{AB}=\mathit{DE}$．

问题：如图，在 $\mathit{\Delta ABD}$中， $\mathit{BA}=\mathit{BD}$．在 $\mathit{BD}$的延长线上取点 $E$， $C$，作 $\mathit{\Delta AEC}$，使 $\mathit{EA}=\mathit{EC}$．若 $\angle \mathit{BAE}=90°$， $\angle B=45°$，求 $\angle \mathit{DAC}$的度数．

答案： $\angle \mathit{DAC}=45°$．

思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“ $\angle B=45°$”去掉，其余条件不变，那么 $\angle \mathit{DAC}$的度数会改变吗？说明理由．

（2）如果把以上“问题”中的条件“ $\angle B=45°$”去掉，再将“ $\angle \mathit{BAE}=90°$”改为“ $\angle \mathit{BAE}=n°$”，其余条件不变，求 $\angle \mathit{DAC}$的度数．

（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形 $\mathit{ABC}$，其中 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，在 $\mathit{\Delta ABC}$的外侧分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$为腰作了两个等腰直角三角形 $\mathit{ABD}$， $\mathit{ACE}$，分别取 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$， $\mathit{BC}$的中点 $M$， $N$， $G$，连接 $\mathit{GM}$， $\mathit{GN}$．小明发现了：线段 $\mathit{GM}$与 $\mathit{GN}$的数量关系是　　；位置关系是　　．

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形 $\mathit{ABC}$换为一般的锐角三角形，其中 $\mathit{AB}>\mathit{AC}$，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．

（3）深入研究：

如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向 $\mathit{\Delta ABC}$的内侧分别作等腰直角三角形 $\mathit{ABD}$， $\mathit{ACE}$，其它条件不变，试判断 $\mathit{\Delta GMN}$的形状，并给与证明．

已知：如图， $\mathit{\Delta ABC}$是任意一个三角形，求证： $\angle A+\angle B+\angle C=180°$．

如图，点 $E$是 $▱\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$的中点，连结 $\mathit{AE}$并延长，交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$．

（1）若 $\mathit{AD}$的长为2，求 $\mathit{CF}$的长．

（2）若 $\angle \mathit{BAF}=90°$，试添加一个条件，并写出 $\angle F$的度数．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，以 $\mathit{BC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$．

（1）求线段 $\mathit{AD}$的长度；

（2）点 $E$是线段 $\mathit{AC}$上的一点，试问：当点 $E$在什么位置时，直线 $\mathit{ED}$与 $\odot O$相切？请说明理由．