初中数学三角形解答题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$ 中， $\angle \mathit{AOB}=90°$ ，以点 $O$ 为圆心， $\mathit{OA}$ 为半径的圆交 $\mathit{AB}$ 于点 $C$ ，点 $D$ 在边 $\mathit{OB}$ 上，且 $\mathit{CD}=\mathit{BD}$ ．

（1）判断直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）已知 $\tan \angle \mathit{ODC}=\frac{24}{7}$ ， $\mathit{AB}=40$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$ ；

（2）若 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{BC}=16$ ，求 $\mathit{DE}$ 的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $P$是 $\mathit{BA}$延长线上一点， $\mathit{PC}$切 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{CG}$是 $\odot O$的弦， $\mathit{CG}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $D$．

（1）求证： $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABC}$．

（2）过点 $A$作 $\mathit{AE}//\mathit{PC}$交 $\odot O$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$，连接 $\mathit{BE}$，若 $\cos \angle P=\frac{4}{5}$， $\mathit{CF}=10$，求 $\mathit{BE}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle A=40°$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{BD}=\mathit{BC}=\mathit{CE}$ ，连结 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ ．

（1）若 $\angle \mathit{ABC}=80°$ ，求 $\angle \mathit{BDC}$ ， $\angle \mathit{ABE}$ 的度数；

（2）写出 $\angle \mathit{BEC}$ 与 $\angle \mathit{BDC}$ 之间的关系，并说明理由．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 为 $\mathit{DC}$ 边的中点，连接 $\mathit{AE}$ ，若 $\mathit{AE}$ 的延长线和 $\mathit{BC}$ 的延长线相交于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}=\mathit{CF}$ ；

（2）连接 $\mathit{AC}$ 和 $\mathit{BE}$ 相交于点为 $G$ ，若 $\mathit{\Delta GEC}$ 的面积为2，求平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的面积．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\angle 1=\angle 2$ ，延长 $\mathit{BC}$ 到点 $E$ ，使得 $\mathit{CE}=\mathit{AB}$ ，连接 $\mathit{ED}$ ．

（1）求证： $\mathit{BD}=\mathit{ED}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{BC}=6$ ， $\angle \mathit{ABC}=60°$ ，求 $\tan \angle \mathit{DCB}$ 的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $E$在 $\mathit{AC}$的延长线上， $\mathit{ED}\perp \mathit{AB}$于点 $D$，若 $\mathit{BC}=\mathit{ED}$，求证： $\mathit{CE}=\mathit{DB}$．

如图，已知四边形 $\mathit{ABCD}$和四边形 $\mathit{DEFG}$为正方形，点 $E$在线段 $\mathit{DC}$上，点 $A$， $D$， $G$在同一直线上，且 $\mathit{AD}=3$， $\mathit{DE}=1$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{CG}$， $\mathit{AE}$，并延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{CG}$于点 $H$．

（1）求 $\sin \angle \mathit{EAC}$的值．

（2）求线段 $\mathit{AH}$的长．

小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形， $\angle \mathit{ACB}$ 与 $\angle \mathit{ECD}$ 恰好为对顶角， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{CDE}=90°$ ，连接 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{BD}$ ，点 $F$ 是线段 $\mathit{CE}$ 上一点．

探究发现：

（1）当点 $F$ 为线段 $\mathit{CE}$ 的中点时，连接 $\mathit{DF}$ （如图（2） $)$ ，小明经过探究，得到结论： $\mathit{BD}\perp \mathit{DF}$ ．你认为此结论是否成立？ 　 　．（填"是"或"否" $)$

拓展延伸：

（2）将（1）中的条件与结论互换，即： $\mathit{BD}\perp \mathit{DF}$ ，则点 $F$ 为线段 $\mathit{CE}$ 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

问题解决：

（3）若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{CE}=9$ ，求 $\mathit{AD}$ 的长．

已知：如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $M$是斜边 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{MD}//\mathit{BC}$，且 $\mathit{MD}=\mathit{CM}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta MED}\backsim \mathit{\Delta BCA}$；

（2）求证： $\mathit{\Delta AMD}\cong \mathit{\Delta CMD}$；

（3）设 $\mathit{\Delta MDE}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{BCMD}$的面积为 $S_2$，当 $S_2=\frac{17}{5}{S}_1$时，求 $\cos \angle \mathit{ABC}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ，弦 $\mathit{MN}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，且 $\mathit{ME}=3$ ， $\mathit{AE}=4$ ， $\mathit{AM}=5$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求 $\odot O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 的长度．

问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AD}$是中线，求 $\mathit{AD}$的取值范围．她的做法是：延长 $\mathit{AD}$到 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{BE}$，证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$的判定定理是：　 　；

（2） $\mathit{AD}$的取值范围是　　；

方法运用：

（3）如图2， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线，在 $\mathit{AD}$上取一点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $E$，使 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$，求证： $\mathit{BF}=\mathit{AC}$．

（4）如图3，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{2}$，在 $\mathit{BD}$上取一点 $F$，以 $\mathit{BF}$为斜边作 $\text{Rt}\Delta \text{BEF}$，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BE}}=\frac{1}{2}$，点 $G$是 $\mathit{DF}$的中点，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{CG}$，求证： $\mathit{EG}=\mathit{CG}$．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$是它的两条切线，过 $\odot O$上一点 $E$作直线 $\mathit{DC}$，分别交 $\mathit{AM}$、 $\mathit{BN}$于点 $D$、 $C$，且 $\mathit{DA}=\mathit{DE}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $O{A}^2=\mathit{DE}·\mathit{CE}$．

如图，四边形 ABCD是菱形，点 E、 F分别在边 AB、 AD的延长线上，且 $\mathit{BE}＝\mathit{DF}$ ，连接 CE、 CF．求证： $\mathit{CE}＝\mathit{CF}$ ．

如图， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $\mathit{OA}=\mathit{OD}$ ， $\angle \mathit{ABO}=\angle \mathit{DCO}$ ， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 延长线上一点，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{CD}$ ，交 $\mathit{BD}$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证 $\mathit{\Delta AOB}\cong \mathit{\Delta DOC}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CE}=1$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．